Enoncé 
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations suivantes :
$$
\begin{array}{lll}
\displaystyle\mathbf{1.}\ \sin x=\frac 12&\displaystyle\quad\mathbf{2.}\ \tan x=\sqrt 3&\displaystyle\quad\mathbf{3.}\ \cos x=-1\\
\displaystyle\mathbf{4.}\ \sin(3x)=1&\quad\displaystyle\mathbf{5.}\ \cos(4x)=-2
\end{array}$$
Indication 
Chercher d'abord les solutions dans $[0,2\pi[$.
Corrigé
- Les seules solutions de l'équation dans $[0,2\pi[$ sont $x=\pi/6$ et $x=5\pi/6$. Par $2\pi$-périodicité, on obtient que les solutions sont les réels $\pi/6+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$ et les réels $5\pi/6+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$. Une autre façon de rédiger est d'écrire que
$$\sin(x)=\sin\left(\frac\pi 6\right)\iff \exists k\in\mathbb Z, x=\frac\pi 6+2k\pi\textrm{ ou }\exists k\in\mathbb Z,\ x=\pi-\frac\pi6+2k\pi.$$
- On a $\sqrt 3=\tan(\pi/3)$ et donc l'ensemble des solutions est $\left\{\frac\pi3+k\pi:\ k\in\mathbb Z\right\}$ (attention! ici les solutions sont définies simplement à $\pi$ près et non à $2\pi$ près).
- Il n'y a qu'une solution à l'équation dans $[0,2\pi[$, donnée par $x=
\pi$. Les solutions de l'équation sont donc les réels $\pi+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$.
- On écrit
$$\sin(3x)=1\iff \exists k\in\mathbb Z,\ 3x=\frac\pi2+2k\pi\iff \exists k\in\mathbb Z,\ x=\frac\pi 6+\frac{2k\pi}3.$$
- L'équation n'admet pas de solutions! En effet, $\cos$ est à valeurs dans $[-1,1]$.
- Équations trigonométriques - lecture du cercle trigonométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]