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Lemme de Schur - Bibm@th.net

Exercice 1 - Lemme de Schur ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie et $U$ une partie irréductible de $\mathcal L(E)$, c'est-à-dire que les seuls sous-espaces stables communs à tous les éléments de $U$ sont $\{0\}$ et $E$. Soit $\phi\in \mathcal L(E)$ qui commute avec tous les éléments de $U$.
  1. Démontrer que ou bien $\phi$ est nulle ou bien $\phi$ est un automorphisme.
  2. On suppose que $\mathbb K=\mathbb C$. En déduire qu'il existe $\lambda\in\mathbb C$ tel que $\phi=\lambda Id_E$.
Indication
Corrigé