Corrigé 
La variable aléatoire $X$ prend ses valeurs dans $\mathbb N$. Fixons $k\in\mathbb N$. Alors si $X=k$, on a fait $r+k$ lancers : $r$ amenant piles, et $k$ amenant faces. Calculer $P(X=k)$ revient à calculer la probabilité que, dans la répétition de $r+k$ épreuves de Bernoulli avec probabilité $p$ de succès, on ait obtenu $r$ fois le succès (pile) et $k$ fois l'échec (face). Fixons un tel événement élémentaire, c'est-à-dire une suite de $r+k$ lancers comprenant $r$ piles, $k$ faces, et se terminant par un pile. Par indépendance des lancers, la probabilité d'un tel événement élémentaire est $p^r (1-p)^{k}$.
Il reste donc à compter combien il y a de tels lancers. Puisque le dernier lancer est un pile, il suffit de compter le nombre de lancers amenant $k$ faces parmi $r+k-1$ lancers (ou, dans un arbre de Bernoulli à $r+k-1$ épreuves, combien de chemins comportent exactement $k$ échecs). Par définition des coefficients binomiaux, il y en a exactement $\binom{r+k-1}k$. On conclut que
$$P(X=k)=\binom{r+k-1}k p^r (1-p)^k.$$
