Notons $\mathcal S$ l'ensemble des solutions de cette inéquation. On va déterminer $\mathcal S$ en séparant l'étude en trois cas, afin d'enlever les valeurs absolues.
Si $x\geq 3$, alors $|x+1|=x+1$ et $|x-3|=x-3$. L'inéquation est donc équivalente à $2x-2\leq 6$ c'est-à-dire à $x\leq 4$. On a donc $\mathcal S\cap [3,+\infty[=[3,4]$.
Si $x\in [-1,3]$, alors $|x+1|=x+1$ et $|x-3|=-x+3$. L'inéquation est alors équivalente à $x+1-x+3\leq 6$ ou encore $4\leq 6$. C'est toujours vrai et donc $\mathcal S\cap [-1,3]=[-1,3]$.
Si $x\leq -1$, on a $|x+1|=-x-1$ et $|x-3|=-x+3$. L'inéquation est dans ce cas équivalente à $-2x+2\leq 6$, soit $x\geq -2$. Ainsi, $\mathcal S\cap]-\infty,-1]=[-2,-1]$.
Finalement, on a prouvé que $\mathcal S=[-2,4]$.
Notons $\mathcal S$ l'ensemble des solutions de cette inéquation.
On va là encore procéder par disjonction de cas :
D'une part, si $x\in ]0,1/2]$, on a $\frac 1x-2\geq 0$.
Sur cet intervalle, l'inéquation devient
$$\frac 1x-2\leq 3\iff \frac 1x\leq 5\iff x\geq 1/5.$$
On a donc $\mathcal S\cap ]0,1/2]=[1/5,1/2]$.
Si $x>1/2$, on a $\frac 1x-2\leq 0$, et sur cet intervalle l'inéquation devient
$$2-\frac 1x\leq 3\iff \frac 1x\geq -1.$$
Cette inégalité est toujours vérifiée lorsque $x>1/2$ et donc $\mathcal S\cap ]1/2,+\infty[=]1/2,+\infty[$.
Si $x<0$, on a encore $\frac 1x-2\leq 0$, et sur cet intervalle l'inéquation devient également
$$2-\frac 1x\leq 3\iff \frac 1x\geq -1.$$
Puisque maintenant $x<0$, ceci est équivalent à $x\leq -1$. Ainsi, on a prouvé que $\mathcal S\cap ]-\infty,0[=]-\infty,-1[$.
Finalement, on a prouvé que l'ensemble des solutions est $]-\infty,-1]\cup [1/5,+\infty[$.
Bibm@th
