Un exemple d'ensemble qui n'est pas un borélien - Bibm@th.net
Exercice 1 - Un exemple d'ensemble qui n'est pas un borélien ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]
Enoncé 
On considère sur $]0,1[$ la relation d'équivalence $x\sim y$ si et seulement si $x-y\in\mathbb Q$. Pour chaque classe d'équivalence, on fixe un représentant et on note $F$ l'ensemble de ces représentants. Ainsi, pour tout $x\in ]0,1[$, il existe un unique $y\in F$ tel que $x\sim y$.
- Soit $q,r\in\mathbb Q$, avec $q\neq r$. Démontrer que $(F+q)\cap (F+r)=\varnothing$.
- Démontrer que $]0,1[\subset \bigcup_{q\in \mathbb Q\cap ]-1,1[}(F+q)\subset ]-1,2[$.
- On suppose que $F$ est un borélien. En considérant $\lambda\left(\bigcup_{q\in\mathbb Q\cap ]-1,1[}(F+q)\right)$, obtenir une contradiction.
