Enoncé 
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Étudier et déterminer, si elles existent,
les limites en $0$ des fonctions $f:x\mapsto \frac xa \left\lfloor \frac bx\right\rfloor $ et
$g:x\mapsto \left\lfloor \frac xa\right\rfloor \frac bx$.
Corrigé 
Pour $x\neq 0$, on a
$$\frac{b}x-1\leq \left\lfloor \frac bx\right\rfloor \leq \frac bx.$$
Pour $x>0$, on en déduit
$$\frac{b}{a}-\frac xa\leq f(x)\leq \frac ba.$$
Par le théorème d'encadrement, $f$ admet $\frac ba$ comme limite à droite en 0. De la même façon, pour $x<0$, on a
$$\frac{b}a-\frac xa\geq f(x)\geq \frac ba$$
et $f$ admet $\frac ba$ comme limite à gauche en 0. On en déduit que $f$ admet une limite à 0 égale à $\frac ba$.
Concernant $g$, on remarque que si $x\in ]-a,0[$, alors
$$g(x)=-\frac bx$$
et donc $\lim_{x\to 0^-}g(x)=+\infty$. Pour $x\in ]0,a[$, on a
$$g(x)=0$$ et donc $\lim_{x\to 0^+}g(x)=0$. Ainsi, $g$ n'admet pas de limite en 0.
