Enoncé 
Soit $f$ une application de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ continue en 0, et vérifiant $f(2x)=f(x)$ pour tout
réel $x$. Montrer que $f$ est constante. Comment généraliser ce résultat si $f$ vérifie $f(ax+b)=f(x)$ pour
des réels $a$ et $b$ donnés avec $|a|\neq 1$?
Corrigé 
Soit $x\in\mathbb R$ et $(x_n)$ la suite définie par $x_n=x/2^n$.
Alors $x_n=2x_{n+1}$, et donc on a $f(x_n)=f(x_{n+1})$. Ainsi, on obtient que
pour tout entier $n$, on a $f(x_n)=f(x)$. Or, la suite $(x_n)$ tend vers 0,
et $f$ est continue en 0. On en déduit que $f(x_n)\to f(0)$, et donc que $f(x)=f(0)$.
Comme $x$ est arbitraire, $f$ est bien constante égale à $f(0)$.
Si $f$ vérifie la relation $f(ax+b)=f(x)$, alors soit $l$ la solution
de $al+b=l$, soit $l=\frac{b}{1-a}$ (on a $a\neq 1$). Si $f$ est continue en $l$,
alors $f$ va être constante. En effet, la transformation $x\mapsto ax+b$ est une
homothétie de centre $l$ et de rapport $a$. On peut faire le même travail avec cette homothétie
qu'avec l'homothétie $x\mapsto 2x$.
