Corrigé 
On va permuter l'ordre des séries. Pour cela, il suffit de prouver que la famille $(\frac{1}{k!})_{(n,k)\in I}$ où $I=\{(n,k)\in\mathbb N^2; k\geq n\}$ est sommable. S'agissant d'une famille dont tous les termes sont positifs, il suffit de vérifier que la série
$$\sum_{k\geq 0}\left(\sum_{n\leq k}\frac {1}{k!}\right)$$
converge (remarquons qu'à l'intérieur, la somme est finie). Mais,
$$\left(\sum_{n\leq k}\frac {1}{k!}\right)=\frac{k+1}{k!}$$ qui est le terme général d'une série convergente, et on a
$$\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k!}=\sum_{k\geq 0}\frac{(k+1)}{k!}=2e.$$
Bibm@th
