Enoncé 
Soit $x\in ]-1,1[$.
- Démontrer que la famille $(x^{kl})_{(k,l)\in(\mathbb N^*)^2}$ est sommable.
- En déduire que
$$\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{x^k}{1-x^k}=\sum_{n=1}^{+\infty}d(n)x^n$$
où $d(n)$ est le nombre de diviseurs positifs de $n$.
Indication 
- Démontrer que la famille $(|x|^{kl})_{(k,l)\in\mathbb N^2}$ est sommable.
- Calculer la somme de la famille sommable de deux façons : l'une par des sommations successives, l'autre en regroupant judicieusement certains termes.
Corrigé
- Il suffit, par le théorème de permutation des sommes, de démontrer que, pour chaque $k\geq 1$, la série $\sum_{l}|x|^{kl}$ converge, et que la série $\sum_{k}\sum_{l\geq 1}|x|^{kl}$ est aussi convergente. Mais, puisque $|x|<1$, la première série converge, de somme
$$\sum_{l\geq 1}x^{kl}=\frac{|x|^k}{1-|x|^k}.$$
Maintenant,
$$\frac{|x|^k}{1-|x|^k}\sim_{k\to+\infty} |x|^k$$
et donc la série $\sum_{k\geq 1} \frac{|x|^k}{1-|x|^k}$ est convergente.
- Calculons de deux façons différentes la somme de la famille sommable. D'une part, en procédant par sommation successive comme dans la question précédente, on a
$$\sum_{(k,l)\in (\mathbb N^*)^2}x^{kl}=\sum_{k\geq 1}\frac{x^k}{1-x^k}.$$
D'autre part, posons, pour $n\geq 1$, $I_n=\{(k,l);\ k\cdot l=n\}$. Alors on a aussi
$$\sum_{(k,l)\in (\mathbb N^*)^2}x^{kl}=\sum_{n\geq 1}\sum_{(k,l)\in I_n}x^{kl}=\sum_{n\geq 1}\textrm{card}(I_n) x^n.$$
Mais le cardinal de $I_n$ est justement le nombre de diviseurs de $n$ (on peut choisir pour $k$ n'importe quel diviseur positif de $n$, et ceci définit aussi uniquement $l$).
