Enoncé 
On pose, pour $(m,n)\in\mathbb N^*\times \mathbb N^*$, $a_{m,n}=\frac{1}{(m+n)^\alpha}$ où $\alpha\in\mathbb R$ est un paramètre donné. Étudier la sommabilité de la famille $(a_{m,n})_{(m,n)\in \mathbb N^*\times\mathbb N^*}$.
Indication 
Appliquer le théorème de sommation par paquets en regroupant les termes en fonction de la valeur de $m+n$.
Corrigé Notons $I=\mathbb N^*\times\mathbb N^*$ et pour $p\geq 2$, $I_p=\{(m,n)\in I; m+n=p\}$. Alors
$(I_p)_{p\geq 2}$ est une partition de $I$. De plus, $I_p$ a pour cardinal $p-1$ et on a donc
$$\sum_{i\in I_p}a_i=\frac{p-1}{p^\alpha}.$$
Par le théorème de sommation par paquets, la convergence de la série $\sum_i a_i$ est équivalent à la convergence de la série $\sum_p \left(\sum_{i\in I_p}a_i\right)=\sum_p \frac{p-1}{p^\alpha}$. Par comparaison à une série de Riemann, cette dernière série converge si et seulement si $\alpha>2$. La famille est sommable si et seulement si $\alpha>2$.
