Un exemple simple de famille sommable - Bibm@th.net

Écrivons que $\mathbb Z=\mathbb Z_-^*\cup \mathbb N$. Démontrer la sommabilité de la famille $(q^{|n|})_{n\in\mathbb Z}$ revient à démontrer la sommabilité des deux familles $(q^{|n|})_{n\geq 0}$ et $(q^{|n|})_{n<0}$. Puisque $\mathbb Z_-^*$ et $\mathbb N$ peuvent être facilement mis en bijection avec $\mathbb N$, il s'agit de démontrer que les deux séries $\sum_{n\in\mathbb N}q^n$ et $\sum_{n\geq 1}q^{|-n|}$ convergent absolument. C'est bien le cas puisqu'on a deux séries géométriques de raison dont le module est strictement inférieur à $1$. Pour la somme, on a \begin{eqnarray*} \sum_{n\in\mathbb Z}q^{|n|}&=&\sum_{n\geq 0}q^n+\sum_{n\geq 1}q^n\\ &=&2\sum_{n\geq 0}q^n-1\\ &=&\frac{2}{1-q}-1=\frac{1+q}{1-q}. \end{eqnarray*}