Réciproque d'une fonction convexe - Bibm@th.net

Soit $y_1,y_2\in f(I)$ et $x_1,x_2\in I$ tels que $y_1=f(x_1)$ et $y_2=f(x_2)$. Soit aussi $t\in [0,1]$. Alors $$f^{-1}\big(ty_1+(1-t)y_2\big)=f^{-1}\big(tf(x_1)+(1-t)f(x_2)\big).$$ Par convexité de $f$, $$tf(x_1)+(1-t)f(x_2)\geq f(tx_1+(1-t)x_2).$$ Puisque $f^{-1}$ est croissante (la réciproque d'une fonction croissante est croissante), on en déduit que $$f^{-1}\big(ty_1+(1-t)y_2\big)\geq f^{-1}\big(f(tx_1+(1-t)x_2)\big)=tx_1+(1-t)x_2=tf^{-1}(y_1)+(1-t)f^{-1}(y_2).$$ Ainsi, $f^{-1}$ est concave.