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Étude d'une suite récurrente - Bibm@th.net

Exercice 1 - Étude d'une suite récurrente ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $u_0\in]0,\pi[$ et $u_{n+1}=\sin u_n$, pour $n\geq 0$.
  1. Etudier la convergence de $(u_n)$.
  2. Montrer que $u_{n+1}/u_n$ tend vers 1. Calculer la limite de $\frac{u_n+u_{n+1}}{u_n}$.
  3. Montrer que $\frac{u_n-u_{n+1}}{u_n^3}$ tend vers 1/6.
  4. En déduire que $\frac{1}{u_{n+1}^2}-\frac{1}{u_n^2}$ tend vers 1/3.
  5. Montrer que l'on a $\lim(\sqrt{n}u_n)=\sqrt{3}.$
Indication
Corrigé