Corrigé 
On va orthonormaliser la base canonique $(1,X,X^2)$. Commençons par normaliser $1$. Sa norme est $\sqrt 2$. On pose donc $$P=\frac 1{\sqrt 2}.$$ Considérons ensuite
$$Q_1(X)=X+\lambda P$$
où $\lambda$ est choisi de sorte que $\langle Q_1,P\rangle=0$. Mais,
$$\langle Q_1,P\rangle=\int_{-1}^1 \frac t{\sqrt 2}dt+\lambda \langle P,P\rangle=\lambda.$$
On doit donc avoir $\lambda=0$ (en réalité, les deux vecteurs $1$ et $X$ sont déjà orthogonaux!),
et donc $Q_1=X$. On normalise ce vecteur en
$$Q(X)=\sqrt{\frac 32}X.$$
On pose enfin
$$R_1=X^2+\lambda P+\mu Q$$ de sorte que
$\langle R_1,P\rangle=0$ et $\langle R_1,Q\rangle=0$. Mais, $X^2$ est déjà orthogonal à $X$, et donc par un calcul similaire au précédent, on va trouver que $\mu=0$. D'autre part,
$$\langle R_1,P\rangle=\frac 1{\sqrt 2}\int_{-1}^1 t^2dt+\lambda=\frac {\sqrt 2}3+\lambda.$$
On trouve $\lambda=-\frac{\sqrt 2}3$ et donc
$$R_1(X)=X^2-\frac{1}3.$$
Reste à normaliser ce vecteur en
$$R(X)=\sqrt{\frac 58}(3X^2-1).$$
Ainsi, $\left(\frac 1{\sqrt 2},\sqrt{\frac 32}X,\sqrt{\frac 58}(3X^2-1)\right)$ est une base orthonormale de $\mathbb R_2[X]$.
Bibm@th
