Enoncé 
Dans $\mathbb R^3$ muni du produit scalaire canonique, orthonormaliser en suivant le procédé de Schmidt la base suivante :
$$u=(1,0,1),\ v=(1,1,1),\ w=(-1,-1,0).$$
Corrigé 
Le premier vecteur est simplement $\frac u{\|u\|}$. Puisque $\|u\|=\sqrt 2$, on a
$$e_1=\left(\frac{1}{\sqrt 2},0,\frac 1{\sqrt 2}\right).$$
Cherchons ensuite $e'_2$ sous la forme $e'_2=v+\lambda e_1$ de sorte que $\langle e'_2,e_1\rangle=0$.
On a
\begin{eqnarray*}
\langle e'_2,e_1\rangle&=&\langle v,e_1\rangle+\lambda \langle e_1,e_1\rangle\\
&=&\frac{2}{\sqrt 2}+\lambda\\
&=&\sqrt 2+\lambda.
\end{eqnarray*}
On doit donc avoir $\lambda=-\sqrt 2$ ce qui donne
$$e'_2=(0,1,0).$$
Il est déjà normalisé et donc on pose $e_2=(0,1,0)$. Cherchons ensuite $e'_3$ sous la forme
$$e'_3=w+\lambda e_1+\mu e_2$$
de sorte que $\langle e'_3,e_1\rangle=0$ et $\langle e'_3,e_2\rangle=0$. Il vient :
\begin{eqnarray*}
\langle e'_3,e_1\rangle&=&\langle w,e_1\rangle+\lambda \langle e_1,e_1\rangle\\
&=&-\frac{1}{\sqrt 2}+\lambda
\end{eqnarray*}
d'où il vient $\lambda=\frac{1}{\sqrt 2}$. Ensuite, on a
\begin{eqnarray*}
\langle e'_3,e_2\rangle&=&\langle w,e_2\rangle+\mu \langle e_2,e_2\rangle\\
&=& -1+\mu
\end{eqnarray*}
d'où $\mu=1$. On en déduit que
$$e'_3=\left(-\frac 12,0,\frac 12\right).$$
On normalise ce vecteur, et on trouve
$$e_3=\left(-\frac 1{\sqrt 2},0,\frac 1{\sqrt 2}\right).$$
- Orthonormalisation de Schmidt
Bibm@th
