Applications de l'inégalité de Cauchy-Schwarz - Bibm@th.net

Exercice 1 - Applications de l'inégalité de Cauchy-Schwarz [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soient $x_1,\dots,x_n\in\mathbb R$.

1. Démontrer que $$\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2\leq n\sum_{k=1}^n x_k^2$$ et étudier les cas d'égalité.
2. On suppose en outre que $x_k>0$ pour chaque $k\in\{1,\dots,n\}.$ Démontrer que $$\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)\left(\sum_{k=1}^n \frac 1{x_k}\right)\geq n^2$$ et étudier les cas d'égalité.

Indication

1. Appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz au produit scalaire canonique de $\mathbb R^n$ avec les vecteurs $x=(x_1,\dots,x_n)$ et $y=(1,\dots,1)$.
2. Appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux vecteurs $y=(\sqrt{x_1},\dots,\sqrt{x_n})$ et $z=\left(\frac 1{\sqrt{x_1}},\dots,\frac 1{\sqrt{x_n}}\right)$.

Corrigé

1. On va appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz au produit scalaire canonique de $\mathbb R^n$ avec les vecteurs $x=(x_1,\dots,x_n)$ et $y=(1,\dots,1)$. On trouve $$0\leq \left|\sum_{k=1}^n x_k\right|=\left|\sum_{k=1}^n x_k \times 1\right|\leq \left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right)^{1/2}\left(\sum_{k=1}^n 1^2\right)^{1/2}.$$ Il suffit de prendre le carré pour obtenir l'inégalité désirée, puisque la fonction $x\mapsto x^2$ est croissante sur $[0,+\infty[.$ De plus, il y a égalité si et seulement s'il y a égalité dans l'application de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, c'est-à-dire si et seulement si les vecteurs $(x_1,\dots,x_n)$ et $(1,\dots,1)$ sont liés; autrement dit, si et seulement si tous les $x_i$ sont égaux.
2. Appliquons l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux vecteurs $y=(\sqrt{x_1},\dots,\sqrt{x_n})$ et $z=\left(\frac 1{\sqrt{x_1}},\dots,\frac 1{\sqrt{x_n}}\right)$. Alors on trouve $$n=\sum_{k=1}^n y_k z_k\leq \left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^{1/2}\left(\sum_{k=1}^n \frac 1{x_k}\right)^{1/2}$$ ce qui, mis au carré, donne l'inégalité demandé. Comme précédemment, on a égalité si et seulement si les vecteurs $y$ et $z$ sont liés. Puisqu'ils sont tous les deux à coordonnées strictement positives, c'est équivalent à dire qu'il existe $\lambda>0$ tel que $x_k=\frac \lambda{x_k}$ pour tout $k=1,\dots,n$. Ainsi, il y a égalité si et seulement si tous les $x_k$ sont égaux.