Enoncé 
On considère les matrices suivantes :
$$A=\left(\begin{array}{cc}
1&-1\\
-1&1\\
\end{array}\right),\ B=\left(\begin{array}{cc}
1&1\\
0&2\\
\end{array}\right).$$
Calculer $A^2$, $A^3$. En déduire la valeur de $A^n$ pour tout $n\geq 1$. Répondre aux mêmes questions pour $B$.
Indication 
Calculer les premières puissances pour deviner la formule donnant $A^n$ ou $B^n$. Démontrer cette formule par récurrence.
Corrigé On va commencer par calculer les premiers termes de $A^n$ pour essayer de deviner la formule. On a
$$A^2=\left(\begin{array}{cc}
2&-2\\
-2&2
\end{array}\right),\ A^3=\left(\begin{array}{cc}
4&-4\\
-4&4
\end{array}\right).$$
On démontre alors par récurrence sur $n\geq 1$ que
$$A^n=\left(\begin{array}{cc}
2^{n-1}&-2^{n-1}\\
-2^{n-1}&2^{n-1}
\end{array}\right).$$
La preuve par récurrence est très simple, et repose simplement sur le fait que $2^{n-1}+2^{n-1}=2^n$.
On fait la même chose pour $B$ :
$$B^2=\left(\begin{array}{cc}
1&3\\
0&4
\end{array}\right),\ B^3=\left(\begin{array}{cc}
1&7\\
0&8
\end{array}\right).$$
On démontre alors, par récurrence sur $n$, que
$$B^n=\left(\begin{array}{cc}
1&2^n-1\\
0&2^n
\end{array}\right).$$
- Puissance $n$-ième, par récurrence