Corrigé $\mnr$ est la somme directe du sous-espace vectoriel des matrices symétriques et des matrices antisymétriques. Soit $(A_1,\dots,A_p)$ et $(B_1,\dots,B_q)$ une base respective de l'espace vectoriel des matrices symétriques et antisymétriques. $(A_1,\dots,A_p,B_1,\dots,B_q)$ forme une base de $\mnr$, et il suffit de calculer le déterminant dans cette base. Mais $\phi(A_i)=A_i$ tandis que $\phi(B_j)=-B_j$. On a donc $\det(\phi)=(-1)^q$. Il suffit ensuite de se souvenir que $p=\frac{n(n+1)}{2}$, ou $q=\frac{n(n-1)}{2}$.