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Exercice 1 - Une certaine variable aléatoire ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $p\in]0,1[$. On dispose d'une pièce amenant "pile" avec la probabilité $p$. On lance cette pièce jusqu'à obtenir pour la deuxième fois "pile". Soit $X$ le nombre de "face" obtenus au cours de cette expérience.

Déterminer la loi de $X$.
Montrer que $X$ admet une espérance, et la calculer.
On procède à l'expérience suivante : si $X$ prend la valeur $n$, on place $n+1$ boules numérotées de 0 à $n$ dans une urne, et on tire ensuite une boule de cette urne. On note alors $Y$ le numéro obtenu. Déterminer la loi de $Y$. Calculer l'espérance de $Y$.
On pose $Z=X-Y$. Donner la loi de $Z$ et vérifier que $Z$ et $Y$ sont indépendantes.

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Corrigé

Exercice 2 - Rangée de spots ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Une rampe verticale de spots nommés de bas en haut $S_1,\ S_2,\ S_3,\ S_4$ change d'état de la manière suivante :

à l'instant $t=0$, le spot $S_1$ est allumé.
si, à l'instant $t=n,\ n\geq 0$, le spot $S_1$ est allumé, alors un (et un seul) des spots $S_1,\ S_2,\ S_3,\ S_4$ s'allume à l'instant $t=n+1$, et ceci de manière équiprobable.
si, à l'instant $t=n,\ n\geq 0$, le spot $S_k$ ($2\leq k\leq 4$) est allumé, le spot $S_{k-1}$ s'allume à l'instant $t=n+1$.

On pourra remarquer qu'à chaque instant, un et un seul spot est allumé. On note $X$ la variable aléatoire représentant le premier instant (s'il existe) où le spot $S_2$ s'allume.

Écrire une fonction python $\verb+simulspot()+$ qui simule le fonctionnement de la variable aléatoire $X$.
Calculer la probabilité pour que le spot $S_1$ reste constamment allumé jusqu'à l'instant $n$.
Calculer la probabilité des événements $(X=1)$ et $(X=2)$.
Calculer la probabilité des événements $(X=n)$, pour $n\geq 3$.
Déterminer l'espérance de $X$.

Indication

Corrigé

On va utiliser deux variables : $t$ qui désigne l'instant où l'on est, et $k$ qui désigne le spot allumé à l'instant courant. Une fonction possible est :

def simulspot():
    t=0
    k=1
    while (k!=2):
        t=t+1
        if (k==1):
            k=random.randint(1,4)
        else:
            k=k-1
    return t

Si le spot reste constamment allumé jusqu'à l'instant $n$, c'est qu'il y a eu la succession d'événement $A_k$ : "le spot $S_1$ est éclairé à l'instant $k$". Par la formule des probabilités composées, on trouve que : $$P(A_1\cap\dots \cap A_n)=P(A_n|A_1\cap \dots \cap A_{n-1})\dots P(A_2|A_1) P(A_1)=\frac{1}{4^n}.$$
Clairement(!), on a $P(X=1)=1/4$. D'autre part, $(X=2)$ est réalisé, soit si le spot $S_1$ reste allumé à l'instant 1 et le spot $S_2$ s'allume à l'instant 2, soit si le spot $S_3$ s'allume à l'instant 1 (et $S_2$ s'allumera automatiquement à l'instant 2). Ces deux cas sont disjoints, donc : $$P(X=2)=\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{5}{16}.$$
Soit $n\geq 3$. $S_2$ s'allume pour la première fois à l'instant $n$ si et seulement si :
- Soit $S_1$ reste allumé jusqu'à l'instant $n-1$, et $S_2$ s'allume à l'instant $n$.
- Soit $S_1$ reste allumé jusqu'à l'instant $n-2$, et $S_3$ s'allume à l'instant $n-1$.
- Soit $S_1$ reste allumé jusqu'à l'instant $n-3$, et $S_4$ s'allume à l'instant $n-2$.
Ces cas étant disjoints, on obtient : $$\forall n\geq 3,\ P(X=n)=\frac{1}{4^{n-1}}\frac{1}{4}+\frac{1}{4^{n-2}}\frac{1}{4}+\frac{1}{4^{n-3}}\frac{1}{4}=\frac{21}{4^n}.$$
La convergence de la série étant évidente, on obtient : \begin{eqnarray*} E(X)&=&\sum_{n=1}^\infty nP(X=n)\\ &=&\frac{1}{4}+\frac{5}{8}+21\sum_{n=3}^{+\infty}\frac{n}{4^n}. \end{eqnarray*} La somme de la série se calcule en utilisant $\sum_{n\geq 0}x^n=1/(1-x)$ pour $|x|<1$. En dérivant cette égalité, on a $$\sum_{n\geq 1}n x^{n-1}=\frac 1{(1-x)^2}.$$ On fait $x=1/4$ et on trouve $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{4^n}=\frac 14\times \frac 1{(1-(1/4))^2}=\frac 49.$$ On en déduit $$\sum_{n=3}^{+\infty}\frac{n}{4^n}=\frac 49-\frac 14-\frac 18=\frac{5}{72}.$$ On obtient finalement : $$E(X)=\frac{7}{3}.$$

Exercice 3 - Tirage et loi de Poisson ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Pierre et Quentin jouent au jeu suivant. On tire un nombre entier naturel $X$ au hasard, et on suppose que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $a>0$. Si $X$ est impair, Pierre gagne et reçoit $X$ euros de Quention. Si $X$ est pair supérieur ou égal à 2, Quentin gagne et reçoit $X$ euros de Pierre. Si $X=0$, la partie est nulle. On note $p$ la probabilité que Pierre gagne et $q$ la probabilité que Quentin gagne.

En calculant $p+q$ et $p-q$, déterminer la valeur de $p$ et de $q$.
Déterminer l'espérance des gains de chacun.

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Exercice 4 - Couple géométrique ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\mtn^*$, telles que : $$P\big((X=i)\cap(Y=j)\big)=\frac{a}{2^{i+j}},$$ pour tous $i,j$ de $\mtn^*$.

Calculer $a$.
Déterminer les lois marginales de $X$ et $Y$.
$X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?

Indication

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Exercice 5 - Naissances ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

On suppose que le nombre $N$ d'enfants dans une famille suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$. On suppose qu'à chaque naissance, la probabilité que l'enfant soit une fille est $p\in ]0,1[$ et celle que ce soit un garçon est $q=1-p$. On suppose aussi que les sexes des naissances successives sont indépendants. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de filles par familles, et $Y$ celle du nombre de garçons.

Déterminer la loi conjointe du couple $(N,X)$.
En déduire la loi de $X$ et celle de $Y$.

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Exercice 6 - Donné par une contrainte ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans $\mathbb N^*$. On suppose qu'il existe $p\in ]0,1[$ tel que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $P(X=n)=pP(X\geq n)$. Déterminer la loi de $X$.

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Exercice 7 - Une suite de jeux ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Des joueurs $A_1,A_2,\dots,A_n,\dots$ s'affrontent de la manière suivante : chaque manche oppose deux concurrents qui ont chacun la probabilité $\frac 12$ de gagner. La première manche oppose $A_1$ et $A_2$ et, à l'étape $n$, si elle a lieu, le gagnant de l'épreuve précédente affronte le joueur $A_{n+1}$. Le jeu s'arrête lorsque, pour la première fois, un joueur gagne deux manches consécutives.

Quelle est la probabilité que l'étape $n$ ait lieu?
En déduire que le jeu s'arrête presque sûrement.
Quelle est la probabilité que le joueur $A_n$ gagne?

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Corrigé

Exercice 8 - Tirer un nombre au hasard ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

On tire au hasard un nombre entier strictement positif. On suppose que la probabilité d'obtenir $n$ vaut $1/2^n$. Pour $k\in\mathbb N^*$, on note $A_k$ l'événement "$n$ est un multiple de $k$".

Vérifier que ceci définit une probabilité sur $\mathbb N^*$.
Calculer la probabilité de $A_k$ pour $k\in\mathbb N^*$.
Calculer la probabilité de $A_2\cup A_3$.
Montrer que pour $p,q\geq 2$, alors $A_p$ et $A_q$ ne sont pas indépendants.

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Exercice 9 - Relecture ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Un livre contient 4 erreurs, numérotées de 1 à 4, et est relu par une suite de relecteurs pour correction. A chaque relecture, chaque erreur est corrigée avec une probabilité 1/3. Les erreurs sont corrigées de manière indépendante les unes des autres, et les relectures sont indépendantes les unes des autres.

Quelle est la probabilité que l’erreur numéro 1 ne soit pas corrigée à l’issue de la $n$-ième lecture ?
Quelle est la probabilité que le livre soit entièrement corrigé à l’issue de la $n$-ième lecture ? Combien faut-il de relectures pour que cette probabilité soit supérieure à 0.9 ?

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Corrigé

Exercice 10 - Probabilité conditionnelle égale à probabilité ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$ un espace probabilisé et $A$ un événement de probabilité non nulle. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\mathbb P_A=\mathbb P$.

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Corrigé

Exercice 11 - Sauts de puce ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Une particule se trouve à l'instant 0 au point d'abscisse $a$ ($a$ entier), sur un segment gradué de $0$ à $N$ (on suppose donc $0\leq a\leq N$). A chaque instant, elle fait un bond de $+1$ avec la probabilité $p$ ($0<p<1/2$), ou un bond de $-1$ avec la probabilité $q=1-p$. Autrement dit, si $x_n$ est l'abscisse de la particule à l'instant $n$, on a : $$x_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll} x_n+1&\textrm{avec probabilité $p$}\\ x_n-1&\textrm{avec probabilité $1-p$.} \end{array}\right.$$ Le processus se termine lorsque la particule atteint une des extrémités du segment (i.e. s'il existe $x_n$ avec $x_n=0$ ou $x_n=N$).

Écrire une fonction python $\verb+puce(a,N,p)+$ qui simule cette marche aléatoire et qui retourne l'endroit où la puce sort du segment ($0$ ou $N$) et le nombre de pas nécessaires pour que le processus s'arrête.
On note $u_a$ la probabilité pour que la particule partant de $a$, le processus s'arrête en $0$.
1. Que vaut $u_0$? $u_N$?
2. Montrer que si $0<a<N$, alors $u_a={pu_{a+1}}+qu_{a-1}$.
3. En déduire l'expression exacte de $u_a$.
On note $v_a$ la probabilité pour que la particule partant de $a$, le processus s'arrête en $N$. Reprendre les questions précédentes avec $v_a$ au lieu de $u_a$.
Calculer $u_a+v_a$. Qu'en déduisez-vous?

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Corrigé

Voici un exemple de fonction.

import random

def puce(a,N,p):
    pas=0
    position=a
    while ( (position>0) and (position<N) ):
        if (random.random()<p):
            position=position+1
        else:
            position=position-1
        pas=pas+1
    return (position,pas)

1. Par définition, on a $u_0=1$ (le processus commence en $0$, il s'arrête immédiatement, en 0), et $u_N=0$ (le processus commence en $N$, il s'arrête aussitôt, en $N$).
2. On note $A$ l'événement : "Partant de $a$, le processus s'arrête en 0", $B$ l'événement : "Partant de $a$ à l'instant 0, à l'instant 1, la particule est en $a+1$", et $C$ l'événement : "Partant de $a$ à l'instant 0, à l'instant 1, la particule est en $a-1$", de sorte que $C=\bar B$. Par la formule des probabilités totales : $$P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C).$$ Maintenant, puisqu'on part à l'instant $t=0$ de $a$, on a $P(B)=p$ et $P(C)=q$. D'autre part, si la particule est à l'instant 1 en $a+1$, la probabilité que le processus s'arrête en 0 vaut $u_{a+1}$. On a donc : $P(A|B)=u_{a+1}$, et de même $P(A|C)=u_{a-1}$. On en déduit la formule de récurrence : $$u_a=pu_{a+1}+qu_{a-1}.$$
3. Pour $a$ allant de $1$ à $N-1$, la suite $(u_a)$ vérifie la formule de récurrence : $$u_{a+1}=\frac{1}{p}u_a-\frac{q}{p}u_{a-1}.$$ L'équation caractéristique de cette récurrence est : $$r^2-\frac{1}{p}r+\frac{q}{p}=0.$$ Cette équation du second degré admet deux solutions distinctes, $$r_1=1\textrm{ et }r_2=\frac{q}{p}$$ (remarquer ici l'utilisation de l'hypothèse $p\neq 1/2$ qui permet d'affirmer que les deux racines sont distinctes). Il existe donc des réels $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout $a$ dans $\{0,\dots,N\}$, on ait : $$u_a=\lambda+\mu\left(\frac{q}{p}\right)^a.$$ Utilisant que $u_0=1$ et $u_N=0$, on obtient : $$u_a=\frac{q^N}{q^N-p^N}+\frac{p^N}{p^N-q^N}\left(\frac{q}{p}\right)^a.$$
Le même raisonnement prouve que : $$v_a=pv_{a+1}+qv_{a-1}.$$ La résolution de cette récurrence donne : $$v_a=\frac{p^N}{p^N-q^N}+\frac{p^N}{q^N-p^N}\left(\frac{q}{p}\right)^a.$$
On vérifie aisément que $u_a+v_a=1$. Ceci signifie que, presque sûrement, le processus va s'arrêter.