Mathématicien du mois

Pour $x\in\mathbb R$, on pose $f_n(x)=1+x+\dots+x^{n-1}$.

Étudier la convergence simple de la suite de fonctions $(f_n)$. On note $f(x)$ la limite de la suite $(f_n(x))$ lorsque cette limite existe.
On pose, pour $x\in ]-1,1[$, $\varphi_n(x)=f(x)-f_n(x)$. Vérifier que $$\varphi_n(x)=\frac{x^n}{1-x}.$$ Quelle est la limite de $\varphi_n$ en $1$? En déduire que la convergence n'est pas uniforme sur $]-1,1[$.
Soit $a\in ]0,1[$. Démontrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[-a,a]$.

Exercice 2 - Convergence uniforme sur un intervalle plus petit... ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On pose, pour $n\geq 1$ et $x\in ]0,1]$, $f_n(x)=nx^n\ln(x)$ et $f_n(0)=0$.

Démontrer que $(f_n)$ converge simplement sur $[0,1]$ vers une fonction $f$ que l'on précisera. On note ensuite, pour $n\geq 1,$ $g_n=f-f_n$.
Étudier les variations de $g_n$.
En déduire que la convergence de $(f_n)$ vers $f$ n'est pas uniforme sur $[0,1]$.
Soit $a\in [0,1[$. En remarquant qu'il existe $n_0\in\mathbb N$ tel que $e^{-1/n}\geq a$ pour tout $n\geq n_0$, démontrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,a]$.

Exercice 3 - Exemples de convergence uniforme, ou non ! ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Étudier la convergence simple et la convergence uniforme des suites de fonctions $(f_n)$ suivantes :

$f_n(x)=e^{-nx}\sin(2nx)$ sur $\mtr^+$ puis sur $[a,+\infty[$, avec $a>0$.
$f_n(x)=\frac 1{(1+x^2)^n}$ sur $\mathbb R$, puis sur $[a,+\infty[$ avec $a>0$.
$f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{1+n^2x^2}$ sur $[a,+\infty[$ avec $a>0,$ puis sur $\mathbb R_+$.

L'inégalité $|f_n(x)|\leq e^{-nx}$ prouve que $f_n$ converge simplement vers la fonction nulle. Posons $g(x)=e^{-x}\sin(2x)$. On a $f_n(x)=g(nx)$. De plus, lorsque $x$ parcourt $\mathbb R_+$, $nx$ parcourt $\mathbb R_+$ et donc $$\sup_{x\in\mathbb R_+}|f_n(x)|=\sup_{x\in\mathbb R_+}|g(x)|>0.$$ La suite $(\|f_n\|_{\infty})$ est une constante strictement positive, elle ne peut pas tendre vers 0 quand $n\to+\infty$ : la convergence n'est pas uniforme sur $\mathbb R^+$. En revanche, si $a>0$ et $x\geq a$, on a : $$|f_n(x)|\leq e^{-na},$$ ce qui prouve la convergence uniforme sur $[a,+\infty[$.
Si $x\neq 0$, $(f_n(x))$ tend vers 0 (c'est une suite géométrique de raison dans l'intervalle $]0,1[)$, et si $x=0$, alors la suite $(f_n(x))$ est constante égale à 1. La suite de fonctions $(f_n)$ converge donc simplement vers la fonction $f$ égale à $1$ en $0$ et égale à $0$ partout ailleurs. La convergence ne peut pas être uniforme sur $\mathbb R$ car chaque fonction $f_n$ est continue sur $\mathbb R$ et la fonction limite ne l'est pas en $0$. En revanche, la convergence est uniforme sur les intervalles du type $[a,+\infty[$ avec $a>0$, puisque pour tout $x\geq a$, on a $$|f_n(x)-f(x)|=\frac 1{(1+x^2)^n}\leq \frac{1}{(1+a^2)^n}$$ et le dernier terme de cette inégalité (qui ne dépend plus de $x\in [a,+\infty[$), tend vers $0$.
On commence par remarquer que, pour tout $x\geq 0,$ $(f_n(x))$ converge vers $0$ : c'est évident si $x=0$ car la suite est constante égale à $0,$ et si $x>0,$ on utilise la majoration $$|f_n(x)|\leq \frac{1}{n^2x^2}.$$ Fixons ensuite $a>0$ et considérons $x\geq a.$ Alors on a $|\sin(nx)|\leq 1$ et $1+n^2x^2\geq 1+n^2a^2$ par croissance de la fonction $x\mapsto x^2$ sur $[a,+\infty[$. On a donc $$|f_n(x)|\leq \frac{1}{1+n^2a^2}.$$ Le membre de droite est une suite numérique (qui ne dépend plus de $x$) et qui tend vers $0.$ Ceci prouve la convergence uniforme de la suite $(f_n)$ vers la fonction nulle sur $[a,+\infty[$.
D'autre part, on a $f_n(1/n)=\frac{\sin(1)}{2}.$ On a donc $$\|f_n-0\|_{\infty,[0,+\infty[}=\|f_n\|_{\infty,[0,+\infty[}\geq \frac{\sin(1)}2.$$ Ainsi, la suite $(f_n)$ ne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur $[0,+\infty[$.

Exercice 4 - Fonction décroissante ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On pose $f_n:x\mapsto ne^{-n^2x^2}$. Étudier la convergence simple de $(f_n)$ sur $\mathbb R$. Montrer la convergence uniforme sur $[a,+\infty[$, avec $a>0$. Étudier la convergence uniforme sur $]0,+\infty[$.

Exercice 5 - Exemples plus difficiles ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Étudier la convergence simple et la convergence uniforme des suites de fonctions $(f_n)$ suivantes :

$f_n(x)=\frac{\sin nx}{n\sqrt{x}}$ sur $\mtr_+^*$;
$f_n(x)=(\sin x)^n \cos(x)$ sur $\mathbb R$.
$f_n(x)=e^{\frac{(n-1)x}{n}}$ sur $\mathbb R$, puis sur $]-\infty,b]$ avec $b\in\mathbb R$.

Puisque $$|f_n(x)|\leq\frac{1}{n\sqrt{x}},$$ il est clair que la suite $(f_n)$ converge simplement vers 0 sur $\mtr_+^*$. Pour étudier la convergence uniforme, remarquons que $f_n$ s'écrit : $$f_n(x)=\frac{1}{\sqrt{n}}\frac{\sin (nx)}{\sqrt{nx}}=\frac{1}{\sqrt{n}}g(nx),$$ où $g(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{x}}$, $g(0)=0$. Prouvons que $g$ est bornée : d'abord, $g$ est continue sur $[1,+\infty[$, et elle admet une limite finie (=0) en $+\infty$ : $g$ est bornée sur $[1,+\infty[$. D'autre part, puisque $\sin x\sim x$, $\lim_{x\to 0}g(x)=0$, et $g$ est continue sur $[0,1]$ : elle y est donc bornée, et finalement $g$ est bornée sur $\mtr^+$. Maintenant, $$\|f_n\|_{\infty}=\left\|\frac{1}{\sqrt{n}}g\right\|_\infty=\frac{1}{\sqrt{n}}\|g\|_{\infty}\to 0,$$ ce qui prouve la convergence uniforme vers 0 sur $\mathbb R_+^*$.
Pour $x\neq \frac\pi 2\ [\pi]$, la suite $(f_n(x))$ converge vers $0$ car c'est une suite géométrique de raison dans l'intervalle $]-1,1[$. Si $x=\frac\pi 2\ [\pi]$, alors la suite $(f_n(x))$ est constante égale à $0$. La suite $(f_n)$ converge donc simplement sur $\mathbb R$ vers la fonction nulle. Pour étudier $\|f_n\|_\infty$, il suffit par périodicité et parité de se restreindre à l'intervalle $[0,\pi]$. Mais alors, pour tout $x\in [0,\pi]$, on a \begin{align*} f_n'(x)&=n\sin^{n-1}(x)\cos^2(x)-\sin^{n+1}(x) \\ &=\sin^{n-1}(x)\big(n\cos^2(x)-\sin^2(x)\big) \\ &=\sin^{n-1}(x)\big((n+1)\cos^2(x)-1\big). \end{align*} $f_n'$ s'annule sur $[0,\pi]$ en $x_0\in [0,\pi/2]$ et $x_1\in [\pi/2,\pi]$ tel que $\cos^2(x_0)=1/(n+1)$ et $\cos^2(x_1)=1/(n+1)$. Ainsi, $f_n$ est croissante sur $[0,x_0]$, décroissante sur $[x_0,x_1]$ et croissante sur $[x_1,\pi]$. Puisqu'elle s'annule en $0$ et en $\pi$, on en déduit que $$\sup_{x\in \mathbb R}|f_n(x)|\leq \max\big(|f_n(x_0)|,|f_n(x_1)|\big)\leq \frac1{\sqrt{n+1}}$$ (on a simplement majoré le sinus par 1). Le membre de droite de cette dernière inégalité tendant vers $0$, on en déduit que $(f_n)$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $\mathbb R$.
On a $\frac{(n-1)x}{n}\to x$ et donc, par théorème de composition des limites, $f_n(x)\to e^x$ pour tout $x\in\mathbb R$. La suite de fonctions $(f_n)$ converge donc simplement vers $e^x$ sur $\mathbb R$. La convergence n'est pas uniforme sur $\mathbb R$. En effet, on a On a \begin{eqnarray*} \exp(n)-f_n(n)&=&\exp(n)-\exp(n-1)\\ &=&\exp(n)\left(1-\exp(-1)\right)\\ \end{eqnarray*} et ceci tend vers $+\infty$. En revanche, on a convergence uniforme sur tout intervalle de la forme $]-\infty,b]$. En effet, fixons $b\in\mathbb R$ qu'on peut supposer positif, et prenons $x\in]-\infty,b]$. Alors, d'après l'inégalité des accroissements finis, \begin{eqnarray*} \left|\exp\left(\frac{(n-1)x}{n}\right)-\exp(x)\right|&\leq&\left|\frac{(n-1)x}{n}-x\right|\sup_{t\in I_x}|\exp(t)|\\ &\leq&\frac{|x|}{n}\sup_{t\in I_x}|\exp(t)| \end{eqnarray*} où $I_x$ est l'intervalle $\left[\frac{(n-1)x}{n},x\right]$ si $x>0$, l'intervalle $\left[x,\frac{(n-1)x}{n}\right]$ si $x\leq 0$. Mais, si $x\in[0,b]$, alors $$\frac{|x|}{n}\sup_{t\in I_x}|\exp(t)|\leq \frac{b\exp{b}}{n}.$$ Si $x<0$, alors $$\frac{|x|}{n}\sup_{t\in I_x}|\exp(t)|\leq \frac{|x|\exp(x/2)}{n}.$$ Or, il est très facile de vérifier que la fonction $x\mapsto |x|\exp(x/2)$ est majorée sur $]-\infty,0]$. C'est en effet une fonction continue qui tend vers 0 en $-\infty$. Ainsi, il existe $M$ tel que, pour tout $x<0$, $$|x|\exp(x/2)\leq M.$$ On en déduit, pour tout $x\in]-\infty,b]$, $$ \left|\exp\left(\frac{(n-1)x}{n}\right)-\exp(x)\right|\leq\frac{\max(be^b,M)}{n},$$ ce qui prouve la convergence uniforme sur $]-\infty,b]$.

Exercice 6 - Convergence uniforme et produit ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soient $(f_n)$ et $(g_n)$ deux suites de fonctions définies sur un même intervalle $I$ et à valeurs dans $\mathbb R$. On suppose que $(f_n)$ et $(g_n)$ convergent uniformément sur $I$ vers respectivement $f$ et $g$. On suppose de plus que $f$ et $g$ sont bornées. Démontrer que $(f_ng_n)$ converge uniformément vers $fg$.

Exercice 7 - Convergence uniforme et continuité uniforme ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Démontrer que la limite uniforme d'une suite de fonctions uniformément continues est elle-même uniformément continue.

Exercice 8 - Limite uniforme de polynômes ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction et $(P_n)$ une suite de fonctions polynomiales convergeant uniformément vers $f$ sur $\mathbb R.$

Justifier qu'il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n\geq N$ et pour tout $x\in\mathbb R$, on ait $|P_n(x)-P_N(x)|\leq 1$.
Que dire du polynôme $P_n-P_N$?
En déduire que $f$ est nécessairement un polynôme.

Exercice 9 - Exemples et contre-exemples ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Pour $x\in I=[0,1]$, $a\in\mathbb R$ et $n\geq 1$, on pose $u_n(x)=n^a x^n(1-x)$.

Étudier la convergence simple sur $I$ de la série de terme général $u_n$. On notera dans la suite $S$ la somme de la série.
Étudier la convergence normale sur $I$ de la série de terme général $u_n$.
On suppose dans cette question que $a=0$. Calculer $S$ sur $[0,1[$. En déduire que la convergence n'est pas uniforme sur $[0,1]$.
On suppose $a>0$. Démontrer que la convergence n'est pas uniforme sur $I$.

Exercice 10 - Critère des séries alternées ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $u_n(x)=(-1)^n\ln\left(1+\frac{x}{n(1+x)}\right)$ défini pour $x\geq 0$ et $n\geq 1$.

Montrer que la série $\sum_{n\geq 1} u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}u_n$ converge uniformément sur $\mathbb R_+$.
La convergence est-elle normale sur $\mathbb R_+$?

Exercice 11 - Uniforme non normale ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On considère la série de fonctions $\sum_{n\geq 2} u_n$, avec $u_n(x)=\frac{xe^{-nx}}{\ln n}$.

Démontrer que $\sum_{n\geq 2}u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
Démontrer que la convergence n'est pas normale sur $\mathbb R_+$.
Pour $x\in\mathbb R_+$, on pose $R_n(x)=\sum_{k\geq n+1}u_k(x)$. Démontrer que, pour tout $x>0$, $$0\leq R_n(x)\leq \frac{xe^{-x}}{\ln (n+1) (1-e^{-x})},$$ et en déduire que la série converge uniformément sur $\mathbb R_+$.