Commençons par observer que, pour chaque entier $n$, l'intégrale est bien définie. En effet, si $C>0$ est tel que $|f(x)|\leq C$ pour tout $x\geq 0$, alors on a $$\left|\frac{a_nf(x)}{a_n^2+x^2}\right|\leq \frac{C a_n}{a_n^2+x^2}$$ et la fonction à droite de l'inégalité est intégrable (le dénominateur ne s'annule jamais sur $\mathbb R$, et elle est équivalente au voisinage de $+\infty$ à $Ca_n/x^2$). Déterminons maintenant la limite en utilisant le théorème de convergence dominée. Pour cela, on réalise le changement de variables $x=a_n u$. L'intégrale est alors égale à $$\int_0^{+\infty}\frac{f(a_n x)}{1+x^2}dx.$$ Posons $g(x)=\frac{\|f\|_\infty}{1+x^2}$. Alors la fonction $g$ est intégrable sur $[0,+\infty[$ et de plus, pour tout $n\geq 1$ et tout $x\geq 0$, $$\left|\frac{f(a_n x)}{1+x^2}\right|\leq g(x).$$ En outre, pour tout $x\geq 0$, on a $$\lim_{n\to+\infty} \frac{f(a_n x)}{1+x^2}=\frac{f(0)}{1+x^2}.$$ D'après le théorème de convergence dominée, $$\lim_{n\to+\infty}\int_0^{+\infty}\frac{a_n f(x)}{a_n^2+x^2}dx=\int_0^{+\infty}\frac{f(0)}{1+x^2}dx=\frac\pi 2f(0).$$

On démontre facilement par récurrence que $\int_0^{+\infty}x^n e^{-x}dx=n!$. Mais alors, les hypothèses de l'exercice nous disent que la série $$\sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^{+\infty}\left|a_n x^n e^{-x}\right|dx=\sum_{n\geq 0}|a_n|n!$$ est convergente. De plus, la série $\sum_{n\geq 0}a_n x^n$ est normalement convergente sur tout segment $[0,A]$, car on peut majorer $|a_nx^n|\leq |a_n|A^n\leq |a_n|n!$ pourvu que $n$ soit assez grand. La fonction somme est donc continue sur $[0,+\infty[$. On peut alors appliquer le théorème d'intégration termes à termes et on trouve $$\sum_{n\geq 0}a_n n!=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^{+\infty}a_n x^n e^{-x}dx=\int_0^{+\infty}\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n e^{-x}$$ ce qui est le résultat voulu.

On sait que, pour tout $u\in\mathbb R$, on a $\cos(u)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n u^{2n}}{(2n)!}$. On en déduit que, pour tout $x\geq 0$, $\cos(\sqrt x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n x^n}{(2n)!}$. Posons, pour $x>0$, $f_n(x)=(-1)^n \frac{x^n}{(2n)!}e^{-x}$. Alors la série $\sum_{n\geq 1}f_n(x)$ converge pour tout $x>0$ vers $\cos(\sqrt x)e^{-x}$. De plus, on a $$\sum_{n\geq 1}\int_0^{+\infty} |f_n(x)|dx=\sum_{n\geq 1} \int_0^{+\infty}\frac{x^n e^{-x}}{(2n)!}dx.$$ Or, $\int_0^{+\infty}x^n e^{-x}dx=n!$ et donc $$\sum_{n\geq 1}\int_0^{+\infty} |f_n(x)|dx=\sum_{n\geq 1}\frac{n!}{(2n)!}$$ et ceci est une série convergente, comme on peut le constater en appliquant le critère de d'Alembert. On peut donc appliquer le théorème d'intégration terme à terme et on obtient $$\int_0^{+\infty}\cos(\sqrt x)e^{-x}dx=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^n e^{-x}dx= \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n \frac{n!}{(2n)!}.$$