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Exercice 1 - Avec un paramètre ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $m$ un nombre réel et $f$ l'endomorphisme de $\mathbb R^3$ dont la matrice dans la base canonique est $$A=\left(\begin{array}{rcl} 1&0&1\\ -1&2&1\\ 2-m&m-2&m \end{array}\right).$$

Quelles sont les valeurs propres de $f$?
Pour quelles valeurs de $m$ l'endomorphisme est-il diagonalisable?
On suppose $m=2$. Calculer $A^k$ pour tout $k\in\mathbb N$.

Indication

Corrigé

On calcule le polynôme caractéristique de $A$. On a $$\begin{array}{rcl} \chi_A(X)&=&\left|\begin{array}{ccc} X-1&0&-1\\ 1&X-2&-1\\ m-2&2-m&X-m \end{array}\right|=_{C_1+C_2\to C_1} \left| \begin{array}{ccc} X-1&0&-1\\ X-1&X-2&-1\\ 0&2-m&X-m \end{array}\right|\\ \\ &=_{L_2-L_1\to L_2}&\left|\begin{array}{ccc} X-1&0&-1\\ 0&X-2&0\\ 0&2-m&X-m \end{array}\right| =(X-1)\left|\begin{array}{cc} X-2&0\\ 2-m&X-m \end{array}\right|\\ \\ &=&(X-1)(X-2)(X-m). \end{array}$$ Les valeurs propres de $f$ sont donc 1,2 et $m$. En particulier, si $m=1$ ou $2$, $f$ n'admet que deux valeurs propres.
Si $m\neq 1$ et $m\neq 2$, $f$ est un endomorphisme de $\mathbb R^3$ qui admet trois valeurs propres distinctes : $f$ est donc diagonalisable. Si $m=1$, le polynôme caractéristique de $f$ est $(X-1)^2(X-2)$. Dans ce cas, $2$ est valeur propre de multiplicité $1$ de $f$ et $1$ est valeur propre de multiplicite $2$. L'endomorphisme $f$ est donc diagonalisable si et seulement si la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est égale à 2. Cherchons ce sous-espace (rappelons qu'on a $m=1$). Pour $u=(x,y,z)$, on a $$f(u)=u\iff \left\{ \begin{array}{rcl} z&=&0\\ -x+y+z&=&0\\ x-y&=&0\\ \end{array}\right. \iff \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&x\\ y&=&x\\ z&=&0 \end{array} \right. $$ Une base de $\ker(f-I)$ est donc donnée par le vecteur $(1,1,0)$. L'espace est de dimension $1\neq 2$ : la matrice n'est pas diagonalisable.
Supposons maintenant $m=2$. Cette fois, c'est $1$ qui est valeur propre de $f$ de multiplicité $1$ et $2$ qui est valeur propre de multiplicité $2$. On doit donc calculer la dimension de $\ker(f-2I)$. On a, pour $u=(x,y,z)$: $$f(u)=2u\iff \left\{ \begin{array}{rcl} -x+z&=&0\\ -x+z&=&0\\ 0&=&0\\ \end{array}\right. \iff \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&x\\ y&=&y\\ z&=&x \end{array} \right. $$ Une base de $\ker(f-2I)$ est donnée par la famille des deux vecteurs $(1,0,1)$ et $(0,1,0)$. En particulier, $\ker(f-2I)$ est de dimension 2 et $f$ est diagonalisable.
On va commencer par diagonaliser $f$. On a déjà cherché une base du sous-espace propre correspondant à la valeur propre 2. Pour la valeur propre 1 (attention, on travaille cette fois avec $m=2$), on a, pour $u=(x,y,z)$ : $$f(u)=u\iff \left\{ \begin{array}{rcl} z&=&0\\ -x+y+z&=&0\\ z&=&0\\ \end{array}\right. \iff \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&x\\ y&=&x\\ z&=&0 \end{array}\right.$$ Une base de $\ker(f-I)$ est donc donnée par le vecteur $(1,1,0)$. Notons $u=(1,1,0)$, $v=(0,1,0)$ et $w=(1,0,1)$. Alors $(u,v,w)$ est une base de vecteurs propres de $f$ et dans cette base, la matrice de $f$ est $$D=\left(\begin{array}{rcl} 1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2\\ \end{array}\right).$$ Notons $P$ la matrice de passage de la base canonique de $\mathbb R^3$ à la base $(u,v,w)$. La matrice $P$ est donnée par $$P=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&1\\ 1&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right)$$ et on a $A=PDP^{-1}$. On doit calculer $P^{-1}$. On trouve $$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ -1&1&1\\ 0&0&1 \end{array} \right).$$ De $A=PDP^{-1}$, on déduit facilement par récurrence $A^k=PD^kP^{-1}$. Mais puisque $D$ est diagonale, on a $$D^k=\left(\begin{array}{rcl} 1&0&0\\ 0&2^k&0\\ 0&0&2^k\\ \end{array}\right).$$ Le calcul précédent donne finalement $$A^k=\left( \begin{array}{ccc} 1&0&2^k-1\\ 1-2^k&2^k&2^k-1\\ 0&0&2^k \end{array} \right).$$

Exercice 2 - De rang 2!!! ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soient $a,b\in\mathbb R$ tels que $|a|\neq |b|$. On considère la matrice carrée de taille $2n$ $$A=\left(\begin{array}{ccccc} a&b&a&b&\dots\\ b&a&b&a&\dots\\ a&b&a&b&\dots\\ b&a&b&a&\dots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{array}\right).$$

Calculer le rang de $A$. En déduire que si $n>1$, alors $0$ est valeur propre de $A$ et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.
Déterminer deux vecteurs propres associés à deux autres valeurs propres, et en déduire que $A$ est diagonalisable.

Indication

Corrigé

Exercice 3 - Commutant d'une matrice ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $A$ la matrice $$A=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 1&2&1\\ 2&2&3 \end{array}\right).$$

Diagonaliser $A$.
En déduire toutes les matrices $M$ qui commutent avec $A$.

Indication

Corrigé

Exercice 4 - Matrices semblables? ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Les matrices $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&4\\ 1&0&-8\\ 0&1&5 \end{array}\right)\textrm{ et } B=\left(\begin{array}{ccc} 2&1&1\\ 0&0&-2\\ 0&1&3 \end{array}\right)$$ sont-elles semblables?

Indication

Corrigé