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Exercice 1 - Polynômes de Lagrange ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $E=\mathbb C_{n-1}[X]$ et soit $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ des nombres complexes deux à deux distincts. On pose, pour $k=1,\dots,n$, $$L_k=\frac{\prod_{\substack{i=1\\i\neq k}}^n (X-\alpha_i)}{\prod_{\substack{i=1\\i\neq k}}^n (\alpha_k-\alpha_i)}.$$ Démontrer que $(L_k)_{k=1,\dots,n}$ est une base de $E$. Déterminer les coordonnées d'un élément $P\in E$ dans cette base.

Indication

Corrigé

Exercice 2 - Du local au global... ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mathcal L(E)$. On suppose que, pour tout $x\in E$, il existe un entier $n_x\in\mathbb N$ tel que $f^{n_x}(x)=0.$ Montrer qu'il existe un entier $n$ tel que $f^n=0$.

Indication

Corrigé

Exercice 3 - Noyau égal à l'image ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie. Montrer qu'il existe $f\in\mathcal L(E)$ tel que $\ker(f)=\textrm{Im}(f)$ si et seulement si $E$ est de dimension paire.

Indication

Corrigé

Exercice 4 - Suite exacte ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soient $E_0,\dots,E_n$ des espaces vectoriels de dimensions finies respectivement égales à $a_0,\dots,a_n$. On suppose qu'il existe $n$ applications linéaires $f_0,\dots,f_{n-1}$ telles que, pour chaque $k\in\{0,\dots,n-1\}$, $f_k$ est une application linéaire de $E_k$ dans $E_{k+1}$ et

$f_0$ est injective;
$\ker(f_k)=\textrm{Im}(f_{k-1})$ pour tout $k=1,\dots,n-1$;
$f_{n-1}$ est surjective.

Prouver que $\sum_{k=0}^n (-1)^k a_k=0$.

Indication

Corrigé

Exercice 5 - Transformée de Laplace ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue et $s_0\in\mathbb R$ tels que $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-s_0t}dt$ converge.

Soit $F$ une primitive de $t\mapsto f(t)e^{-s_0t}$ sur $[0,+\infty[$. Démontrer que $F$ est bornée sur $[0,+\infty[$.
En déduire que, pour tout $s>s_0$, $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$ converge.
Sur le même modèle, démontrer que si $g:[1,+\infty[\to\mathbb R$ est une fonction continue telle que $\int_1^{+\infty}g(t)dt$ converge, alors $\int_1^{+\infty}\frac{g(t)}tdt$ converge.

Indication

Corrigé

Exercice 6 - Avec le critère des séries alternées ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $f:[0,+\infty[\to[0,+\infty[$ une fonction continue décroissante, de limite nulle en $+\infty$. On pose $u_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}f(t)\sin(t)dt$.

Montrer que la série de terme général $u_n$ est convergente.
En déduire que l'intégrale $\int_0^{+\infty}f(t)\sin(t)dt$ est convergente. Quel est son signe?
On suppose $f(x)\geq 1/x$ pour $x\geq x_0$. Prouver que $\int_0^{+\infty}f(t)\sin(t)dt$ n'est pas absolument convergente.

Indication

Corrigé

On va montrer que la série de terme général $u_n$ vérifie le critère des séries alternées. En effet
- Si $n=2p$ est pair, alors $\sin(t)\geq 0$ sur $[2p\pi;2p\pi+\pi]$ et donc $u_{2p}\geq 0$. Si $n=2p+1$, alors $\sin(t)f(t)\leq 0$ sur $[(2p+1)\pi,(2p+1)\pi+\pi]$ et donc $u_{2p+1}\leq 0$.
- Comme la fonction $f(t)\sin(t)$ ne change pas de signe sur $[n\pi,(n+1)\pi]$, on remarque d'abord que $$|u_n|=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}f(t)|\sin(t)|dt.$$ D'autre part, pour tout $t\in[n\pi,(n+1)\pi]$, puisque $f$ est positive et décroissante, on a $$0\leq f((n+1)\pi)|\sin(t)|\leq f(t)|\sin(t)|\leq f(n\pi)|\sin(t)|$$ En intégrant, on obtient $$f((n+1)\pi)\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin(t)|dt\leq |u_n|\leq f(n\pi)\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin(t)|dt.$$ L'intégrale de $|\sin(t)|$ sur une période étant égale à 2, on obtient finalement : $$2f((n+1)\pi)\leq |u_n|\leq 2f(n\pi).$$ Cette inégalité montre simultanément que la suite $(|u_n|)$ est décroissante et tend vers 0.
Ainsi, d'après le critère des séries alternées, la série de terme général $u_n$ est convergente.
Soit $X>0$. Il existe un unique entier $n:=n(X)$ tel que $X\in[n\pi,(n+1)\pi[$. Notons $S_n=\sum_{k=1}^n u_k$. On peut écrire $$\int_0^X f(t)\sin(t)dt=S_{n-1}+\int_{n\pi}^{X} f(t)\sin(t)dt.$$ Or, $$\left|\int_{n\pi}^X f(t)\sin(t)dt\right|\leq \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}f(t)|\sin(t)|dt\leq |u_n|.$$ Ainsi, lorsque $X$ tend vers $+\infty$, $n$ tend également vers $+\infty$, $S_{n-1}$ admet une limite finie et $\int_{n\pi}^{X} f(t)\sin(t)dt$ converge vers 0. C'est bien que l'intégrale est convergente. De plus, $$\int_0^{+\infty}f(t)\sin(t)dt=\sum_{n=0}^{+\infty}u_n.$$ En particulier, puisque $(u_n)$ vérifie le critère spécial des séries alternées, $\sum_{n\geq 0}u_n$ est du signe de $u_0$, c'est-à-dire que $$\int_0^{+\infty}f(t)\sin tdt\geq 0.$$
Si l'intégrale converge absolument, alors la série $\sum_n u_n$ converge elle aussi absolument. Mais en utilisant l'inégalité obtenue dans la première question, on obtient $$|u_n|\geq 2f((n+1)\pi)\geq \frac{2}{(n+1)\pi}$$ si $n$ est assez grand. Puisque la série de terme général $1/n$ est divergente, il en est de même de $\sum |u_n|$ : l'intégrale n'est pas absolument convergente.

Exercice 7 - Différence d'exponentielles ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soient $0<a<b$.

Justifier la convergence de $\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt$.
Soient $0<x<y$. Démontrer que $$\int_x^y \frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt=\int_{ax}^{bx}\frac{e^{-t}}tdt-\int_{ay}^{by}\frac{e^{-t}}tdt.$$
Démontrer que, pour tout réel $z>0$, $$e^{-bz}\ln\frac ba\leq\int_{az}^{bz}\frac{e^{-t}}tdt\leq e^{-az}\ln\frac ba.$$
En déduire que $$\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt=\ln\frac ba.$$

Indication

Corrigé

Au voisinage de $+\infty$, puisque $a>0$ et $b>0$, on a $$\frac{e^{-at}-e^{-bt}}t=O\left(\frac1{t^2}\right),$$ d'où la convergence de $\int_1^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt$. En 0, on fait un développement limité pour trouver \begin{eqnarray*} \frac{e^{-at}-e^{-bt}}t=\frac{1-at-1+bt+o(t)}{t}=\frac{(b-a)t+o(t)}{t}=(b-a)+o(1). \end{eqnarray*} La fonction se prolonge donc par continuité en 0 (sa limite étant $b-a$). On en conclut la convergence de l'intégrale entre $0$ et $+\infty$.
On écrit, par changement de variables $t\mapsto at$ et $t\mapsto bt$ puis par la relation de Chasles : \begin{eqnarray*} \int_x^{y}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}dt&=&\int_{ax}^{ay}\frac{e^{-t}}{t}dt-\int_{bx}^{by}\frac{e^{-t}}{t}dt\\ &=&\int_{ax}^{bx}\frac{e^{-t}}{t}dt+\int_{bx}^{ay}\frac{e^{-t}}tdt-\int_{bx}^{ay}\frac{e^{-t}}{t}dt-\int_{ay}^{by}\frac{e^{-t}}{t}dt\\ &=&\int_{ax}^{bx}\frac{e^{-t}}{t}dt-\int_{ay}^{by}\frac{e^{-t}}{t}dt. \end{eqnarray*}
La fonction $t\mapsto e^{-t}$ étant décroissante sur $\mathbb R$, on a, pour tout $t\in[az,bz]$, $$e^{-bz}\leq e^{-t}\leq e^{-az}.$$ On multiplie alors cette double inégalité par $1/t$ (qui est strictement positif), et on intègre...
Le principal problème de cette question réside dans la rédaction. Il faut prendre les limites l'une après l'autre! Remarquons d'abord que l'on peut supposer $a\leq b$ (si on échange le rôle de $a$ et $b$, on multiplie chacun des deux termes de l'égalité que l'on veut prouver par $-1$). On considère d'abord $y\in]0,+\infty[$ fixé, et on va faire tendre $x$ vers 0. De l'inégalité précédente, appliquée à $z=x$ et du résultat de la question 2)a), on tire $$e^{-bx}\ln \frac ba-\int_{ay}^{by}\frac{e^{-t}}tdt\leq \int_x^{y}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}dt\leq e^{-ax}\ln\frac ba-\int_{ay}^{by}\frac{e^{-t}}tdt.$$ Lorsque $x$ tend vers 0, les termes de gauche et de droite convergent vers la même limite, à savoir $\ln \frac ba-\int_{ay}^{by}\frac{e^{-t}}tdt$. On peut appliquer le théorème d'encadrement des limites et en déduire que, pour tout $y>0$, l'intégrale $\int_0^y\frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt$ est convergente et vaut : $$\int_0^y\frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt=\ln\frac ba-\int_{ay}^{by}\frac{e^{-t}}{t}dt.$$ On va maintenant faire tendre $y$ vers $+\infty$. On sait que $$e^{-by}\ln\frac ba\leq \int_{ay}^{by}\frac{e^{-t}}{t}dt\leq e^{-ay}\ln\frac ba.$$ Par le théorème d'encadrement des limites, si on fait tendre $y$ vers $+\infty$, on obtient que $$\lim_{y\to+\infty}\int_{ay}^{by}\frac{e^{-t}}tdt=0.$$ On en conclut la convergence de $\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt$ et sa valeur : $$\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt=\ln\frac ba.$$

Exercice 8 - Intégrale de Dirichlet ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Le but de cet exercice est de calculer la valeur de $I=\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}tdt$. Pour chaque entier $n$, on note $$I_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin \big((2n+1)t\big)}{\sin t}dt\textrm{ et }J_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin \big((2n+1)t\big)}{t}dt.$$

Justifier que, pour tout $n\geq 0$, $I_n$ et $J_n$ sont bien définis.
Montrer que, pour tout $n\geq 1$, $I_n-I_{n-1}=0$. En déduire la valeur de $I_n$.
Soit $\phi:[0,\pi/2]\to\mathbb R$ de classe $C^1$. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $\int_0^{\pi/2}\phi(t)\sin\big((2n+1)t\big)dt$ tend vers 0.
Démontrer que la fonction $\phi:t\mapsto \frac 1t-\frac 1{\sin t}$, définie sur $]0,\pi/2]$, se prolonge en une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi/2]$.
En déduire que $I_n-J_n\to 0$.
Démontrer, en utilisant un changement de variables, que $J_n\to I$.
En déduire la valeur de $I$.

Indication

Corrigé

Exercice 9 - Fonction décroissante ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue décroissante telle que $\int_0^{+\infty} f(t)dt$ converge.

Démontrer que $f\geq 0$.
Démontrer que $f$ tend vers 0 en $+\infty$.
Justifier que $\int_{x/2}^x f(t)dt$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
En déduire que $xf(x)$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

Indication

Corrigé

Exercice 10 - Fonction intégrable et limites en l'infini ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $a$ un réel et $f$ une application continue de $[a,+\infty[$ dans $\mathbb R$, intégrable sur $[a,+\infty[$.

Montrer que si $f$ admet une limite en $+\infty$, cette limite est nécessairement nulle.
Montrer que si $f$ est uniformément continue, alors elle tend vers 0 en $+\infty$.
Le résultat subsiste-t-il si on suppose simplement $f$ continue?

Indication

Corrigé

Exercice 11 - Estimation d'un reste ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Déterminer la limite, lorsque $x\to 0^+$, de $\int_x^{2x}\frac{\sin t}{t^2}dt$.

Indication

Corrigé