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Exercice 1 - Critère de Cauchy ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue. On suppose que $\int_0^{+\infty}f(t)dt$ converge, et soit $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites tendant vers $+\infty$. Démontrer que $\int_{x_n}^{y_n}f(t)dt$ tend vers 0.
En déduire que l'intégrale $\int_0^{+\infty}e^{-t\sin t}dt$ diverge.

Indication

Corrigé

Exercice 2 - Changements de variables ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Montrer que $\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{1+t^2}dt$ converge, puis, avec le changement de variables $u=1/t$, que $\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{1+t^2}dt=0$.
Soit $a>0$. Calculer $\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{a^2+t^2}dt$.

Indication

Corrigé

Exercice 3 - Une intégrale comme somme d'une série ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Le but de l'exercice est de prouver la relation suivante : $$\int_0^1\frac{\ln t}{t^2-1}dt=\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n\frac{1}{(2k+1)^2}.$$

Prouver la convergence de l'intégrale.
Montrer que, pour tout entier $k\geq 0$, l'intégrale $I_k=\int_0^1 t^k\ln tdt$ converge, puis calculer $I_k$.
Montrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $\sum_{k=0}^n\frac{1}{(2k+1)^2}=\int_0^1 \frac{\ln t}{t^2-1}dt-\int_0^1 \frac{t^{2n+2}\ln t}{t^2-1}dt.$
Démontrer que la fonction $t\mapsto \frac{t^2\ln t}{t^2-1}$ se prolonge par continuité en 0 et en 1. En déduire qu'il existe une constante $M>0$, qu'on ne cherchera pas à calculer, telle que, pour tout $t\in]0,1[$, $\left|\frac{t^2\ln t}{t^2-1}\right|\leq M$.
En déduire que $\lim_{n\to+\infty}\int_0^1\frac{t^{2n+2}\ln t}{t^2-1}dt=0$, puis la relation demandée.

Indication

Corrigé

La fonction $t\mapsto \frac{\ln t}{t^2-1}$ est continue sur l'intervalle $]0,1[$. En 1, on a $$\frac{\ln t}{t^2-1}\sim_{1}\frac{t-1}{(t-1)(t+1)}\sim_1 \frac{1}{t+1}\sim_1\frac 12.$$ Ainsi, la fonction se prolonge par continuité en 1 par la valeur 1/2, et il n'y a pas de problème de convergence en 1. En 0, on a $$\frac{\ln t}{t^2-1}\sim_0 (-\ln t).$$ Or, $-(\ln t)$ est intégrable au voisinage de 0. Par les théorèmes de comparaison, l'intégrale impropre $\int_0^1 \frac{\ln t}{t^2-1} dt$ est convergente.
La convergence pour $k=0$ est classique (par exemple, car $\ln t=o(1/\sqrt t)$ en 0). Pour $k\geq 1$, la fonction $t\mapsto t^k(\ln t)$ se prolonge par continuité en 0 par la valeur 0, et il n'y a pas de problèmes de convergence. Pour calculer cette intégrale, on peut effectuer une intégration par parties. \begin{eqnarray*}I_k&=&\left[\frac1{k+1}t^{k+1}(\ln t)\right]_0^1-\int_0^1\frac{t^{k}}{k+1}dt\\ &=&-\frac{1}{(k+1)^2}. \end{eqnarray*}
D'après la question précédente, \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \frac{1}{(2k+1)^2}&=&-\sum_{k=0}^n I_{2k}\\ &=&-\sum_{k=0}^n \int_0^1 t^{2k}\ln tdt\\ &=&-\int_{0}^1 \frac{1-t^{2n+2}}{1-t^2}\ln t dt, \end{eqnarray*} ce qui est la relation demandée.
En $0$, $t^2\ln t$ tend vers 0, et donc la fonction $t\mapsto \frac{t^2\ln t}{t^2-1}$ tend vers 0. En $1$, en raisonnant comme à la première question, on trouve que $\frac{t^2\ln t}{t^2-1}$ tend vers $1/2$. Ainsi, la fonction $t\mapsto \frac{t^2\ln t}{t^2-1}$ se prolonge par continuité au segment $[0,1]$. Comme toute fonction continue sur un segment, elle y est bornée par une constante $M>0$. En particulier, pour tout $t\in]0,1[$, on a $$\left|\frac{t^2\ln t}{t^2-1}\right|\leq M.$$
Il suffit d'écrire : \begin{eqnarray*} \left|\int_0^1 \frac{t^{2n+2}\ln t}{t^2-1}dt\right|&\leq&\int_0^1 t^{2n}\left|\frac{t^{2}\ln t}{t^2-1}\right| dt\\ &\leq&M\int_0^1t^{2n}dt=\frac{M}{2n+1}. \end{eqnarray*} La relation demandée suit alors immédiatement d'un passage à la limite dans la question 3.

Exercice 4 - Équivalent de la queue de la gaussienne ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Justifier la convergence de $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$.
Démontrer que, pour tout $x>0$, on a $$\int_x^{+\infty}e^{-t^2}dt=\frac{e^{-x^2}}{2x}-\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t^2}}{2t^2}dt.$$
En déduire un équivalent simple de $\int_x^{+\infty}e^{-t^2}dt$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

Indication

Corrigé