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Exercice 1 - Convergence d'intégrales impropres à paramètres - 2 ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Discuter, suivant la valeur de $\alpha\in\mathbb R$, la convergence des intégrales suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf 1.\ \int_0^{+\infty}\frac{t\ln t}{(1+t^2)^\alpha}dt&& \displaystyle \mathbf 2.\ \int_0^{+\infty}x^\alpha\ln\left(x+e^{\alpha x}\right)dx\ \end{array}$$

Corrigé

Remarquons d'abord que la fonction se prolonge par continuité en 0, puisque $t\ln t\to 0$ lorsque $t$ tend vers 0. De plus, au voisinage de $+\infty$, la fonction est équivalente à $\frac{t\ln t}{t^{2\alpha}}=\frac{\ln t}{t^{2\alpha-1}}.$ On distingue alors deux cas :
- Si $\alpha\leq1$, alors $2\alpha-1\leq 1$, et donc $\frac{\ln t}{t^{2\alpha-1}}\geq\frac1t$ pour $t$ assez grand. Puisque $\int_1^{+\infty} \frac{dt}t$ est divergente, on en déduit que l'intégrale est divergente.
- Si $\alpha>1$, alors $2\alpha-1>1$. L'idée est que le terme le plus important est le dénominateur, $\frac{1}{t^{2\alpha-1}}$. Le logarithme au numérateur nous ennuie un peu, mais on va le traiter en réduisant un peu l'exposant du dénominateur. Précisément, soit $\gamma\in\mathbb R$ tel que $1<\gamma<2\alpha-1$. Alors on a $$t^\gamma\frac{\ln t}{t^{2\alpha-1}}=t^{-\delta}\ln t\to 0$$ avec $-\delta=\gamma-(2\alpha-1)<0$. On en déduit que $$\frac{\ln t}{t^{2\alpha-1}}=_{+\infty}o\left(\frac{1}{t^\gamma}\right).$$ Puisque l'intégrale $\int_{1}^{+\infty}\frac{dt}{t^\gamma}$ converge, il en est de même de $\int_1^{+\infty}\frac{\ln t}{t^{2\alpha-1}}dt$ et par suite de $\int_0^{+\infty}\frac{t\ln t}{(1+t^2)^\alpha}dt$.
En conclusion, l'intégrale est convergente ssi $\alpha>1$.
La fonction $f:x\mapsto x^\alpha\ln\left(x+e^{\alpha x}\right)$ est continue sur $]0,+\infty[$. Il peut y avoir éventuellement deux problèmes, l'un en 0, l'autre en $+\infty$. Pour $\alpha\geq -1$, on a au voisinage de $+\infty$ $$f(x)\geq x^\alpha\geq 0.$$ Comme l'intégrale $\int_1^{+\infty}x^\alpha dx$ diverge (on a supposé $\alpha\geq -1$), il en est de même de $\int_0^{+\infty}f$. On peut donc se concentrer sur le cas $\alpha< -1$. Séparons alors l'étude en 0 et celle en $+\infty$.
1. En 0. On a $e^{\alpha x}\to 1$ et donc $\ln(x+e^{\alpha x})\to 0$. Pour en savoir un peu plus, il faut faire un développement limité. Utilisant $e^{\alpha x}=1+\alpha x+o(x)$, on trouve $$f(x)=x^{\alpha}\ln\big(1+(\alpha+1)x+o(x)\big)=x^\alpha\big((\alpha+1)x+o(x)\big)=(\alpha+1)x^{\alpha+1}+o(x^{\alpha+1}).$$ On en déduit que $f\sim_0 (\alpha+1)x^{\alpha+1}$ (remarquons que $\alpha+1\neq 0$ puisque $\alpha<-1$). Puisqu'on a affaire à des fonctions qui gardent un signe constant, on en déduit que $\int_0^1 f$ converge si et seulement si $\int_0^1 x^{\alpha+1}dx$ converge, c'est-à-dire si et seulement si $-\alpha-1<1$ soit $\alpha>-2$.
2. En $+\infty$. On fait un développement limité de $\ln(x+e^{\alpha x})$. Puisque $\alpha<-1$, on sait que $e^{\alpha x}$ tend vers 0 en $+\infty$, d'où $$\ln\left(x+e^{\alpha x}\right)=\ln x+\ln\left(1+\frac{e^{\alpha x}}x\right)=\ln(x)+o(1).$$ On en déduit que $$f(x)\sim_{+\infty}x^\alpha \ln x.$$ On se ramène à une intégrale de Bertrand. Rappelons pourquoi dans le cas particulier de l'exercice elle est convergente. Puisque $\alpha<-1$, on peut choisir $\gamma\in]\alpha,-1[$. Mais alors, $$x^\alpha\ln x=o(x^\gamma)\textrm{ (faire le quotient des deux quantités)}$$ et comme $\int_1^{+\infty}x^\gamma dx$ converge, il en est de même de $\int_1^{+\infty}f$.
En conclusion, on a prouvé que l'intégrale est convergente si et seulement si $\alpha\in]-2,-1[$.

Exercice 2 - Équivalent de la queue de la gaussienne ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Justifier la convergence de $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$.
Démontrer que, pour tout $x>0$, on a $$\int_x^{+\infty}e^{-t^2}dt=\frac{e^{-x^2}}{2x}-\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t^2}}{2t^2}dt.$$
En déduire un équivalent simple de $\int_x^{+\infty}e^{-t^2}dt$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

Indication

Corrigé

Exercice 3 - Une intégrale comme somme d'une série ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Le but de l'exercice est de prouver la relation suivante : $$\int_0^1\frac{\ln t}{t^2-1}dt=\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n\frac{1}{(2k+1)^2}.$$

Prouver la convergence de l'intégrale.
Montrer que, pour tout entier $k\geq 0$, l'intégrale $I_k=\int_0^1 t^k\ln tdt$ converge, puis calculer $I_k$.
Montrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $\sum_{k=0}^n\frac{1}{(2k+1)^2}=\int_0^1 \frac{\ln t}{t^2-1}dt-\int_0^1 \frac{t^{2n+2}\ln t}{t^2-1}dt.$
Démontrer que la fonction $t\mapsto \frac{t^2\ln t}{t^2-1}$ se prolonge par continuité en 0 et en 1. En déduire qu'il existe une constante $M>0$, qu'on ne cherchera pas à calculer, telle que, pour tout $t\in]0,1[$, $\left|\frac{t^2\ln t}{t^2-1}\right|\leq M$.
En déduire que $\lim_{n\to+\infty}\int_0^1\frac{t^{2n+2}\ln t}{t^2-1}dt=0$, puis la relation demandée.

Indication

Corrigé

La fonction $t\mapsto \frac{\ln t}{t^2-1}$ est continue sur l'intervalle $]0,1[$. En 1, on a $$\frac{\ln t}{t^2-1}\sim_{1}\frac{t-1}{(t-1)(t+1)}\sim_1 \frac{1}{t+1}\sim_1\frac 12.$$ Ainsi, la fonction se prolonge par continuité en 1 par la valeur 1/2, et il n'y a pas de problème de convergence en 1. En 0, on a $$\frac{\ln t}{t^2-1}\sim_0 (-\ln t).$$ Or, $-(\ln t)$ est intégrable au voisinage de 0. Par les théorèmes de comparaison, l'intégrale impropre $\int_0^1 \frac{\ln t}{t^2-1} dt$ est convergente.
La convergence pour $k=0$ est classique (par exemple, car $\ln t=o(1/\sqrt t)$ en 0). Pour $k\geq 1$, la fonction $t\mapsto t^k(\ln t)$ se prolonge par continuité en 0 par la valeur 0, et il n'y a pas de problèmes de convergence. Pour calculer cette intégrale, on peut effectuer une intégration par parties. \begin{eqnarray*}I_k&=&\left[\frac1{k+1}t^{k+1}(\ln t)\right]_0^1-\int_0^1\frac{t^{k}}{k+1}dt\\ &=&-\frac{1}{(k+1)^2}. \end{eqnarray*}
D'après la question précédente, \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \frac{1}{(2k+1)^2}&=&-\sum_{k=0}^n I_{2k}\\ &=&-\sum_{k=0}^n \int_0^1 t^{2k}\ln tdt\\ &=&-\int_{0}^1 \frac{1-t^{2n+2}}{1-t^2}\ln t dt, \end{eqnarray*} ce qui est la relation demandée.
En $0$, $t^2\ln t$ tend vers 0, et donc la fonction $t\mapsto \frac{t^2\ln t}{t^2-1}$ tend vers 0. En $1$, en raisonnant comme à la première question, on trouve que $\frac{t^2\ln t}{t^2-1}$ tend vers $1/2$. Ainsi, la fonction $t\mapsto \frac{t^2\ln t}{t^2-1}$ se prolonge par continuité au segment $[0,1]$. Comme toute fonction continue sur un segment, elle y est bornée par une constante $M>0$. En particulier, pour tout $t\in]0,1[$, on a $$\left|\frac{t^2\ln t}{t^2-1}\right|\leq M.$$
Il suffit d'écrire : \begin{eqnarray*} \left|\int_0^1 \frac{t^{2n+2}\ln t}{t^2-1}dt\right|&\leq&\int_0^1 t^{2n}\left|\frac{t^{2}\ln t}{t^2-1}\right| dt\\ &\leq&M\int_0^1t^{2n}dt=\frac{M}{2n+1}. \end{eqnarray*} La relation demandée suit alors immédiatement d'un passage à la limite dans la question 3.

Exercice 4 - Développement asymptotique d'une intégrale ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Donner un développement asymptotique à trois termes au voisinage de $+\infty$ de $\int_1^x \frac{e^t}tdt$.

Indication

Corrigé