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Exercice 1 - Suite arithmético-géométrique ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soient $a,b\in\mathbb R$ avec $a\neq 1$ et $(u_n)$ la suite définie par $u_{n+1}=au_n+b$.

Quelle est la seule limite possible $l$ de la suite $(u_n)$?
Soit $v_n=u_n-l$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique, et en déduire la nature de la suite $(u_n)$.
Application : on considère un carré de côté 1. On le partage en 9 carrés égaux, et on colorie le carré central. Puis, pour chaque carré non-colorié, on réitère le procédé. On note $u_n$ l'aire coloriée après l'étape $n$. Quelle est la limite de $(u_n)$?

Indication

Corrigé

Exercice 2 - Le flocon de Von Koch ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

On considère un triangle équilatéral $P_1$ de côté $1$. Chaque côté est ensuite divisé en trois parties égales et on construit à partir du segment situé au milieu de chaque côté un nouveau triangle équilatéral à l'extérieur de $P_1$. On obtient ainsi un polygone $P_2$. En procédant de la même façon à partir de $P_2$, on trouve un polygone $P_3$, puis en itérant le processus, on construit une suite de polygones $P_n$.

On note, pour tout entier $n$ :

$c_n$ le nombre de côtés de $P_n$ ;
$l_n$ la longueur d’un côté de $P_n$ ;
$p_n$ le périmètre de $P_n$ ;
$A_n$ l’aire de $P_n$.

Montrer que la suite $(c_n)$ est une suite géométrique et en déduire sa valeur en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
Exprimer $(l_n)$ en fonction de $n$. En déduire que $(p_n)$ tend vers $+\infty$.
Démontrer que $A_1=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
En remarquant que l’on construit $P_{n+1}$ en ajoutant sur chaque côté de $P_n$ un triangle équilatéral de côté $l_{n+1}$ , démontrer l’égalité pour tout entier $n\geqslant 1$ : \[A_{n+1}=A_n+\frac{3\sqrt{3}}{16}\times\left(\frac{4}{9}\right)^n.\]
En déduire l’égalité pour tout entier $n\geqslant 1$ : \[A_n=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{20}\left(1-\left(\frac{4}{9} \right)^{n-1} \right).\]
Quelle est la limite de $(A_n)$, lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

Indication

Corrigé

Pour passer de $P_n$ à $P_{n+1}$, on remplace un côté par $4$ côtés. On a donc $c_{n+1}=4c_n$. Puisque $c_1=3$, on obtient finalement $c_n=3\cdot 4^{n-1}$.
Par construction, on a $l_{n+1}=\frac 13 l_n$ et puisque $l_1=1$, on a finalement $l_{n}=\frac1{3^{n-1}}$. On en déduit que $$p_n=c_n\times l_n= 3 \left(\frac 43\right)^{n-1}.$$ Puisque $4/3>1$, la suite $(p_n)$ tend vers $+\infty$.
La hauteur de $P_1$ est $$h_1^2=1-\frac 1{2^2}=\frac 34\implies h_1=\frac{\sqrt 3}2.$$ Donc l'aire de $P_1$ est $h_1/2$ soit $\sqrt 3/4$.
Notons $T_n$ l'aire du triangle équilatéral de côté $l_n$. Alors on a $$A_{n+1}=A_n+c_n\times T_{n+1}.$$ Or, avec le même raisonnement qu'à la question précédente, on trouve que $$T_{n+1}=\frac{\sqrt 3}4 \times l_{n+1}^2=\frac{\sqrt 3}{4\cdot 9^{n}}.$$ On en déduit \begin{align*} A_{n+1}&=A_n+\frac{3\sqrt 3}{4}\times \frac{4^{n-1}}{9^{n}}\\ &=A_n+\frac{3\sqrt 3}{16} \times \left(\frac 49\right)^n. \end{align*}
On va démontrer le résultat par récurrence sur $n$. On note $\mathcal P(n)$ la propriété $$"A_n=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{20}\left(1-\left(\frac{4}{9} \right)^{n-1} \right)".$$ Initialisation : Puisque $A_1+\frac{\sqrt 3}4$, la propriété est vraie au rang $1$.
Hérédité : Soit $n\geq 1$ tel que $\mathcal P(n)$ est vraie, et prouvons $\mathcal P(n+1)$. Alors on a \begin{align*} A_{n+1}&=A_n+\frac{3\sqrt 3}{16} \times \left(\frac 49\right)^n\\ &=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{20}\left(1-\left(\frac{4}{9} \right)^{n-1} \right)+\frac{3\sqrt 3}{16} \times \left(\frac 49\right)^n\\ &=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{20}\left(1-\left(\frac{4}{9} \right)^{n-1} +\frac 54\left(\frac 49\right)^n\right). \end{align*} Or, \begin{align*} -\left(\frac{4}{9} \right)^{n-1} +\frac 54\left(\frac 49\right)^n&= \left(\frac{-9}{4}+\frac 54\right)\left(\frac 49\right)^n\\ &=-\left(\frac 49\right)^n. \end{align*} Ainsi, on a bien prouvé que $$A_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{20}\left(1-\left(\frac{4}{9} \right)^{n} \right)$$ et on a prouvé que la propriété est vraie au rang $n+1$.
Conclusion : Par le principe de récurrence, $\mathcal P(n)$ est vraie pour tout entier $n$.
On pouvait aussi poser $u_n=A_{n+1}-A_n$. Alors $u_n$ est une suite géométrique de raison $4/9$. On en déduit alors la valeur de $\sum_{k=1}^{n-1}u_k$ d'où l'on tire la valeur de $A_n$ car la somme est télescopique.
Puisque $(4/9)^n$ tend vers $0$ puisque $0<4/9<1$, on en déduit que la suite $(A_n)$ converge vers $$\frac{\sqrt 3}4+\frac{3\sqrt 3}{20}=\frac{8\sqrt 3}{20}=\frac{2\sqrt 3}5.$$

Exercice 3 - Limite infinie ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=(u_n^2+2)/3$.

Démontrer que $u_n\geq 3$ pour tout $n\in\mathbb N$.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
On suppose que la suite $(u_n)$ converge. Quelles peuvent être les limites possibles de $(u_n)$?
En déduire que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$.

Indication

Corrigé

On démontre ce résultat par récurrence sur $n$. Pour $n\in\mathbb N$, on note $\mathcal P(n)$ la propriété $"u_n\geq 3"$.
Initialisation : $\mathcal P(0)$ est vraie puisque $u_0\geq 3$.
Hérédité : soit $n\in\mathbb N$ tel que $\mathcal P(n)$ est vraie, c'est-à-dire $u_n\geq 3$. Alors, on a $u_n^2\geq 9$ et donc $$u_{n+1}=\frac{u_n^2+2}{3}\geq \frac{9+2}{3}=\frac{11}3\geq 3.$$ Donc $\mathcal P(n+1)$ est vraie.
Conclusion : par le principe de récurrence, $\mathcal P(n)$ est vraie pour tout entier $n$.
On peut aussi proposer une rédaction sans récurrence. En effet, pour $n\in\mathbb N,$ on a $$u_{n+1}-u_n=\frac{u_n^2-3u_n+2}{3}=\frac{(u_n-1)(u_n-2)}{3}.$$ Comme on sait d'après la question précédente que $u_n\geq 3,$ on obtient $u_{n+1}-u_n\geq 0$.
Pour $n\geq 0$, on note $\mathcal P(n)$ la propriété $"u_{n+1}\geq u_n"$ et on démontre par récurrence sur $n$ que cette propriété est vraie pour tout entier $n$.
Initialisation : on a déjà vu que $u_1=11/3\geq u_0=3$, et donc $\mathcal P(0)$ est vraie.
Hérédité : soit $n\in\mathbb N$ tel que $\mathcal P(n)$ est vraie, et prouvons $\mathcal P(n+1)$. On a donc $u_{n+1}\geq u_n$. De plus $u_n\geq 0$ (et même $u_n\geq 3$). Puisque la fonction $x\mapsto x^2$ est croissante sur $[0,+\infty[$, on en déduit que $$u_{n+1}^2\geq u_n^2\implies \frac{u_{n+1}^2+2}3\geq \frac{u_n^2+2}3.$$ Autrement dit, on a prouvé que $u_{n+2}\geq u_{n+1}$ et donc que $\mathcal P(n+1)$ est vraie.
Conclusion : par le principe de récurrence, $\mathcal P(n)$ est vraie pour tout entier $n$. Autrement dit, $u_{n+1}\geq u_n$ pour tout entier $n$ et la suite $(u_n)$ est croissante.
Si la suite $(u_n)$ est convergente de limite $\ell$, alors la suite $(u_{n+1})$ converge aussi vers $\ell$ et en passant à la limite dans la relation de récurrence $u_{n+1}=\frac{u_n^2+2}3$, on trouve $$\ell=\frac{\ell^2+2}3.$$ La résolution de cette équation donne $\ell=1$ ou $\ell=2$.
Supposons que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$. Alors, d'après la question précédente, on a $\ell\in\{1,2\}$. Or, puisque $u_n\geq 3$ pour tout $n\in\mathbb N$, on a aussi $\ell\geq 3$. C'est une contradiction et donc la suite $(u_n)$ ne converge pas. Comme il s'agit d'une suite croissante, elle tend vers $+\infty$.