Mathématicien du mois

Soit $u_n=\sqrt{n+\sqrt{n-1+\sqrt{\dots+\sqrt 1}}}$.

Écrire une formule de récurrence liant $u_{n-1}$ et $u_n$.
Montrer que la suite $\left(\frac{u_n}{\sqrt n}\right)$ est bornée.
Déterminer sa limite.

Exercice 2 - Irrationalité de $e$ ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ les deux suites définies pour $n\geq 1$ par : $$u_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!},\ \ v_n=u_n+\frac{1}{n\times n!}.$$

Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. On note $e$ leur limite commune.
Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $n! u_n< n! e < n!u_n+\frac 1n.$
En déduire que $e$ est un nombre irrationnel (on pourra procéder par l'absurde).
Écrire une fonction $\verb+approx(ecart)+$ sous Python qui renvoie un encadrement de $e$ avec une amplitude inférieure à ecart.

Exercice 3 - Un équivalent de $\sum_{k=1}^n \frac 1{\sqrt k}$ ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Étant donné $n\in\mathbb N^*$, on pose $$u_n=\sum_{k=1}^n \frac 1{\sqrt k}-2\sqrt n\textrm{ et }v_n=\sum_{k=1}^n \frac1{\sqrt k}-2\sqrt{n+1}.$$

Calculer $\lim_{n\to+\infty}(u_n-v_n)$.
Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont monotones.
En déduire que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite $\ell$ avec $\ell\leq -1$.
Quelle est la limite de $\frac{\sum_{k=1}^n \frac1{\sqrt k}}{2\sqrt n}$?

Exercice 4 - Fonction décroissante - avec indications ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:]0,+\infty[\to]0,+\infty[$ définie par $f(x)=1+\frac{2}{x}$. On considère la suite récurrente $(u_n)$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ et $u_0=1$.

Étudier le sens de variation de $f$ sur $[1,3]$ et montrer que l'intervalle $[1,3]$ est stable par $f$. Que peut-on en déduire sur $(u_n)$?
Soit $(v_n)$ et $(w_n)$ les suites définies par $v_{n}=u_{2n}$ et $w_n=u_{2n+1}$. Montrer que $(v_n)$ est croissante.
Démontrer que $(w_n)$ est décroissante.
En déduire que $(v_n)$ et $(w_n)$ sont convergentes et déterminer leur limite respective.
Quelle est la nature de la suite $(u_n)$?

Exercice 5 - Suite convergente à valeurs dans $\mathbb Z$ ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $(u_n)$ une suite à valeurs dans $\mathbb Z$, convergente. Montrer, en utilisant la définition, que $(u_n)$ est stationnaire.

Exercice 6 - Partie entière ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $(u_n)$ une suite convergente. La suite $(\lfloor u_n\rfloor)$ est-elle convergente?

Exercice 7 - Suites extraites vérifiant certaines propriétes ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $(u_n)$ une suite de nombre réels.

On suppose que $(u_n)$ est croissante et qu'elle admet une suite extraite convergente. Que dire de $(u_n)$?
On suppose que $(u_n)$ est croissante et qu'elle admet une suite extraite majorée. Que dire de $(u_n)$?
On suppose que $(u_n)$ n'est pas majorée. Montrer qu'elle admet une suite extraite qui diverge vers $+\infty$.

Exercice 8 - Une erreur classique... ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Démontrer que la série $\sum_n \frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ converge.
Démontrer que $\displaystyle \frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}-\frac1n+o\left(\frac 1{n}\right)$.
Étudier la convergence de la série $\displaystyle \sum_n \frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}$.
Qu'a-t-on voulu mettre en évidence dans cet exercice?

Exercice 9 - Décomposition ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Étudier la convergence des séries de terme général : $$\begin{array}{lll} \displaystyle\mathbf 1.\ \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{2n+1}\right)&&\displaystyle\mathbf 2. \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^\alpha+(-1)^n}},\ \alpha>0\\ \displaystyle\mathbf 3. \frac{(-1)^n}{n^\alpha+(-1)^nn^\beta},\ \alpha,\beta\in\mathbb R. \end{array}$$

Le développement limité de $u_n$ donne : $$u_n=\frac{(-1)^n}{2n+1}-\frac{1}{2(2n+1)^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)=\frac{(-1)^n}{2n+1}+v_n,$$ où $v_n\sim \frac{-1}{8n^2}.$ Maintenant, la série alternée $\dis \sum\frac{(-1)^n}{2n+1}$ converge par application du critère spécial des séries alternées, et la série $\sum v_n$, à terme général de signe constant, converge elle aussi (série de Riemann). La série $\sum u_n$ est convergente comme somme de deux séries convergentes.
Faisons un développement limité du terme général $u_n$ au voisinage de $+\infty$ : $$u_n=\frac{(-1)^n}{n^{\alpha/2}}-\frac{1}{2n^{3\alpha/2}}+v_n,$$ où $v_n=o\left(n^{-3\alpha/2}\right)$. La série $\sum\frac{(-1)^n}{n^{\alpha/2}}$ converge d'après le critère spécial des séries alternées. La série $u_n$ a donc le même comportement que la série de terme général : $$w_n=-\frac{1}{2n^{3\alpha/2}}+v_n.$$ Maintenant, $\dis w_n\sim_\infty \frac{-1}{2n^{3\alpha/2}}$ qui ne change pas de signe. Autrement dit, le comportement de la série de terme général $u_n$ est le même que celui de la série de terme général $\dis\frac{1}{n^{3\alpha/2}}$. On en déduit que la série diverge pour $0<\alpha\leq \frac{2}{3}$ et converge pour $\alpha>2/3$.
Remarquons d'abord que si $\alpha=\beta$, $u_n$ n'est pas défini pour $n$ impair. Supposons donc $\alpha\neq\beta$.
- Si $\alpha<\beta$, en factorisant par $(-1)^n n^\beta$ au dénomineateur, on peut écrire $\dis u_n=\frac{1}{n^\beta(1+(-1)^nn^{\alpha-\beta})}$. Ainsi, $u_n$ est définie pour $n\geq 2$, et positif; en outre, $u_n\sim \frac{1}{n^\beta}$. La série converge dans ce cas si et seulement si $\beta>1$.
- Si $\alpha>\beta$, le terme dominant n'est plus le même, et on écrit désormais : $$u_n=\frac{(-1)^n}{n^\alpha(1+(-1)^n n^{\beta-\alpha})}.$$ On voit ainsi que $u_n$ est bien définie pour $n\geq 2$, et c'est une série alternée. On a $|u_n|\sim\frac{1}{n^\alpha}$, en conséquence :
  - Pour $\alpha>1$, $\sum u_n$ est absolument convergente.
  - Pour $\alpha\leq 0$, $\sum u_n$ est grossièrement divergente.
  Il reste ainsi à étudier le cas où $0<\alpha\leq 1$. On effectue un développement limité du terme général : $$u_n=\frac{(-1)^n}{n^\alpha}-\frac{1}{n^{2\alpha-\beta}}+o\left(\frac{1}{n^{2\alpha-\beta}}\right)=\frac{(-1)^n}{n^\alpha}+v_n.$$ La série $\dis \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ converge d'après le critère spécial des séries alternées. D'autre part, $v_n\sim_\infty \frac{-1}{n^{2\alpha-\beta}}$. D'après la règle de comparaison à une série à terme constant, elle converge si, et seulement si, $2\alpha-\beta>1$. Finalement, pour $0<\alpha\leq 1$,
  - si $2\alpha-\beta>1$, $\sum u_n$ converge (somme d'une série convergente et d'une série convergente).
  - si $2\alpha-\beta\leq 1$, $\sum u_n$ diverge (somme d'une série divergente et d'une série convergente).

Exercice 10 - Développement asymptotique de la série harmonique ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Pour $n\geq 1$, on définit le $n$-ième nombre harmonique par $\displaystyle H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k.$

Démontrer que, pour tout $k\geq 1$, $$\int_k^{k+1}\frac 1xdx\leq\frac 1k$$ et que, pour tout $k\geq 2$, $$\frac 1k\leq \int_{k-1}^k \frac 1x dx.$$
En déduire que, pour tout $n\geq 1$, $$\ln(n+1)\leq H_n\leq 1+\ln(n).$$
Démontrer que $H_n\sim_{+\infty}\ln(n)$.
On considère les deux suites $(u_n)_{n\geq 1}$ et $(v_n)_{n\geq 1}$ définies, pour $n\geq 1$, par $$u_n=H_n-\ln(n)\quad\quad v_n=H_n-\ln(n+1).$$ Démontrer que ces deux suites sont adjacentes. On note $\gamma$ leur limite commune.
En utilisant les suites $(u_n)$ et $(v_n)$, écrire en langage Python une fonction prenant comme argument un nombre réel $a$ strictement positif et renvoyant un encadrement de $\gamma$ d'amplitude inférieure ou égale à $a$. On suppose que l'on dispose de la fonction $\verb+math.log()+$ pour le logarithme népérien.

Pour $k\geq 1$, la fonction $x\mapsto 1/x$ est décroissante sur $[k,k+1]$. En particulier, pour tout $x\in[k,k+1]$, on a $$\frac 1x\leq \frac 1k.$$ Si on intègre cette inégalité entre $k$ et $k+1$, on trouve $$\int_{k}^{k+1}\frac{dx}x\leq \int_k^{k+1}\frac 1k dx=(k+1-k)\times\frac 1k=\frac 1k.$$ L'inégalité de droite se démontrer de la même façon, en partant de l'inégalité $$\frac 1k\leq\frac 1x$$ valable pour tout $x\in [k-1,k]$, vraie dès que $k\geq 2$.
Sommons la première inégalité pour $k$ allant de $1$ à $n$. On trouve par la relation de Chasles $$\int_1^{n+1} \frac{dx}x\leq H_n.$$ Le membre de gauche fait exactement $\ln(n+1)$. Pour la deuxième partie, on somme la deuxième inégalité pour $k$ allant de $2$ à $n$. On trouve $$\sum_{k=2}^n \frac 1k\leq \ln(n).$$ Il suffit ensuite d'ajouter $1$ pour conclure.
Pour $n\geq 2$, on a $\ln(n)>0$ et on obtient $$\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}\leq\frac{H_n}{\ln(n)}\leq 1+\frac{1}{\ln(n)}.$$ De plus, $$\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}=\frac{\ln(n)+\ln\left(1+\frac 1n\right)}{\ln(n)}=1+\frac{\ln\left(1+\frac 1n\right)}{\ln(n)}\xrightarrow{n\to+\infty}1.$$ Par le théorème des gendarmes, on en déduit que $H_n/\ln(n)\to 1$ quand $n\to+\infty$.
Soit $n\geq 1$. Alors $$ u_{n+1}-u_n=\frac 1{n+1}-\ln(n+1)+\ln(n).$$ Mais la question 1. avec $k=n+1$ nous dit que $$\frac1{n+1}\leq \int_n^{n+1}\frac{dt}t=\ln(n+1)-\ln(n).$$ Ainsi, on en déduit que $u_{n+1}-u_n\leq 0$ et que $(u_n)$ est décroissante. De même $$v_{n+1}-v_n=\frac1{n+1}-\ln(n+2)+\ln(n+1)$$ et on démontre que cette quantité est positive ou nulle en utilisant l'autre inégalité démontrée à la première question. Ainsi, $(v_n)$ est croissante. Enfin, $$u_{n}-v_n=\ln(n+1)-\ln(n)=\ln\left(1+\frac 1n\right)\xrightarrow{n\to+\infty}\ln(1)=0.$$ Les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
Pour réaliser cet algorithme, on peut remarquer que, pour tout entier $n\geq 1$, on a $v_n\leq a\leq u_n$, et donc qu'il suffit de calculer $u_n$ et $v_n$ de sorte que $u_n-v_n<a$ pour obtenir un encadrement de $\gamma$ à $a$ près. On obtient donc
```
def gamma(a):
    n=1
    H=1
    u=1-math.log(1)
    v=1-math.log(2)
    while (u-v>a):
        n=n+1
        H=H+1/n
        u=H-math.log(n)
        v=H-math.log(n+1)
    return u,v
```

Exercice 11 - Avec une puissance ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $\sum_n u_n$ une série à termes positifs.

On suppose que $\sum_n u_n$ converge. Prouver que, pour tout $\alpha>1$, $\sum_n u_n^\alpha$ converge.
On suppose que $\sum_n u_n$ diverge. Prouver que, pour tout $\alpha\in]0,1[$, $\sum_n u_n^\alpha$ diverge.

Exercice 12 - Produit de racines carrées et maximum ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles positives. On suppose que les deux séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ convergent. Prouver la convergence de $\sum_n \sqrt{u_nv_n}$ et de $\sum_n \max(u_n,v_n)$.