Oraux de concours : Espaces préhilbertiens

Supposons d'abord que $p$ est un projecteur orthogonal. Pour tout $x$ de $E$, $x=p(x)+(x-p(x))$, où $p(x)\perp x-p(x)$. Le théorème de Pythagore donne alors $\|x\|^2=\|p(x)\|^2+\|x-p(x)\|^2$, ce qui entraîne $\|p(x)\|\leq \|x\|$ pour tout $x$ de $E$. Réciproquement, supposons que pour tout $x$ de $E$, $\|p(x)\|\leq \|x\|$, et supposons que $p$ est le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$. Prenons $x$ dans $F$, et $y$ dans $G$, et posons $f(t)=\|x+ty\|^2$. Le développement de la norme donne : $$f(t)=\|x\|^2+2t(x,y)+t^2\|y\|^2.$$ $f$ est donc une fonction dérivable. En outre, $p(x+ty)=x$, et donc $f(0)=\|x\|^2\leq \|x+ty\|^2\leq f(t)$. $f$ atteint donc son minimum en 0. On a donc $f'(0)=0$, ce qui donne $(x,y)=0$ : $F$ et $G$ sont orthogonaux, ce qui signifie que $p$ est un projecteur orthogonal!

Bien sûr, l'implication $1.\implies 2.$ est immédiate. Prouvons la réciproque et supposons que $2.$ est vraie. Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormale de $E.$ Alors, pour $i\neq j,$ on a $\langle s(e_i),s(e_j)\rangle=0$ puisque $\langle e_i,e_j\rangle=0.$ Ainsi, $(s(e_1),\dots,s(e_n))$ est une famille orthogonale de $E.$ Pour $i\in\{1,\dots,n\},$ notons $c_i\in\mathbb R$ tel que $\|s(e_i)\|^2=c_i$ et soit à nouveau $1\leq i\neq j\leq n.$ Alors on sait que $$\langle e_i+e_j,e_i-e_j\rangle=0$$ d'où on déduit que $$\langle s(e_i+e_j),s(e_i-e_j)\rangle=0.$$ En développant, on trouve $c_i-c_j=0$ et donc $c_i=c_j$. Ainsi, il existe $c\in\mathbb R_+$ tel que $\|s(e_i)\|^2=c$ pour tout $i=1,\dots,n.$ Maintenant, pour tous $x,y\in E,$ on écrit $x=\sum_{i=1}^n x_i e_i$ et $y=\sum_{i=1}^n y_i e_i.$ En développant, on trouve \begin{align*} \langle s(x),s(y)\rangle&=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \langle s(e_i),s(e_j)\rangle\\ &=\sum_{i=1}^n x_i y_i \langle s(e_i),s(e_i)\rangle\\ &=c\sum_{i=1}^n x_iy_i\\ &=c\langle x,y\rangle. \end{align*}