Préparer sa kholle : Fonctions usuelles

On commence par écrire que $f(x)=e^{-(\ln x)^2}$. Ainsi, on en déduit que la fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $]0,+\infty[$. Sa dérivée est $$f'(x)=-\frac 2x(\ln x) e^{-(\ln x)^2}.$$ $f'$ est donc positive sur $]0,1[$ et négative sur $]1,+\infty[$. De plus, quand $x\to 0$, on a successivement $\ln x\to -\infty$, $-(\ln x)^2\to -\infty$ et par composition $f(x)\to 0$. De la même façon, on a $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$. Ainsi, on obtient le tableau de variations suivant : La courbe obtenue est :

Posons, pour $x\neq 1$, $$f(x)=\ln(1+|x|)-\frac 1{x-1}=\ln(1+|x|)+\frac{1}{1-x}.$$ L'équation initiale est équivalente à l'équation $f(x)=0$. Remarquons que si $x<1$, alors $f(x)> 0$ et donc l'équation $f(x)=0$ n'admet pas de solutions dans l'intervalle $]-\infty,1[$. Nous allons ensuite étudier la fonction $f$ sur l'intervalle $]1,+\infty[$. Elle y est dérivable et $$f'(x)=\frac 1{1+x}+\frac{1}{(1-x)^2}>0.$$ La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]1,+\infty[$. De plus, on a $$\lim_{x\to 1^+}f(x)=-\infty,\ \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty\textrm{ et }f(2)=\ln(3)-1>0.$$ $f$, qui est de plus continue, réalise une bijection de l'intervalle $]1,+\infty[$ sur $\mathbb R$. L'équation admet donc une unique solution $\alpha$ dans $]1,+\infty[$; le calcul de $f(2)$ et de la limite de $f$ en $1$ permettent de conclure que $1<\alpha<2$.