Méthodes : réduction des endomorphismes
- la méthode la plus classique consiste à calculer le polynôme caractéristique $\chi_A$ et à le factoriser pour déterminer les valeurs propres de $A$. Si $\chi_A$ n'est pas scindé, $A$ n'est pas diagonalisable. Si $\chi_A$ est scindé à racines simples, $A$ est diagonalisable. Si $\chi_A$ est scindé sans être à racines simples, pour chaque valeur propre, on cherche une base de l'espace propre associé et on étudie si la dimension de cet espace propre vaut la multiplicité de la racine.
- dans le cas où la matrice a un petit rang (un ou deux), on peut essayer de déterminer directement un ou deux vecteurs propres indépendants en étudiant la forme de la matrice (voir cet exercice).
- on cherche ses valeurs propres par exemple en calculant le polynôme caractéristique;
- pour chaque valeur propre, on cherche une base de l'espace propre associé;
- on a alors $A=PDP^{-1}$ où $P$ est la matrice dont les colonnes sont constituées par la réunion des bases des espaces propres et la matrice $D$ est la matrice diagonale dont les coefficients sont les valeurs propres de $A$, écrites dans le même ordre que les vecteurs colonnes de $P$
Pour déterminer une racine carrée d'une matrice $A$, on peut :
- Diagonaliser $A$, $A=PDP^{-1}$;
- Chercher une racine carrée de $D$ en considérant la matrice $E$ diagonale dont les coefficients sur la diagonale sont les racines carrées des coefficients de $D$;
- Poser $B=PEP^{-1}$ qui vérifie bien $B^2=A$.
La même méthode fonctionne pour une racine cubique ou plus généralement pour une racine $n$-ième (voir cet exercice).
On peut aussi une diagonalisation de $A$ pour calculer ses puissances : si $A=PDP^{-1},$ alors $A^n=PD^n P^{-1}$.
Les prototypes de matrices non diagonalisables sont $$A=\left(\begin{array}{cc} a&1\\ 0&a \end{array} \right)\textrm{ et }B=\left(\begin{array}{cc} 0&1\\ -1&0 \end{array} \right).$$ La matrice $A$ n'est pas diagonalisable, car elle admet pour seule valeur propre $a$, et si elle était diagonalisable alors elle serait égale à $aI_2$.
La matrice $B$ n'est pas diagonalisable sur $\mathbb R$ car son polynôme caractéristique est $X^2+1$, qui n'admet pas de racines dans $\mathbb R$.
Pour calculer les puissances d'une matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$, on peut
- déterminer un polynôme annulateur $P$ de $A$; par exemple, mais pas toujours, on peut utiliser pour $P$ le polynôme caractéristique de $A$;
- effectuer la division euclidienne de $X^k$ par $P$ : $X^k=PQ+R$;
- on a alors $A^k=R(A)$
Pour déterminer le polynôme minimal d'une matrice $A$, on peut utiliser l'une des méthodes suivantes :
- calculer les puissances de $A$ et trouver une relation entre elles de degré le plus petit possible;
- chercher le polynôme minimal parmi les diviseurs du polynôme caractéristique, en se souvenant que ces deux polynômes ont les mêmes racines;
- chercher à étudier si $A$ est diagonalisable, dans ce cas, son polynôme minimal est $(X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_p)$ où $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ sont les valeurs propres distinctes de $A$
Pour déterminer des propriétés sur le déterminant ou la trace d'une matrice $A$ sachant qu'il existe un polynôme $P$ tel que $P(A)=0$, on peut
- factoriser $P$; les valeurs propres de $A$ sont contenues dans les racines de $P$;
- exprimer la propriété voulue à l'aide des valeurs propres (le déterminant est le produit des valeurs propres quand la matrice est diagonalisable,….);
- quand la matrice est réelle, on pourra utiliser que la multiplicité d'une valeur propre est égale à la multiplicité de la valeur propre conjuguée;
Pour étudier si une matrice $A$ est diagonalisable, on peut utiliser le fait qu'elle est diagonalisable si et seulement si elle annule un polynôme annulateur scindé à racines simples (voir cet exercice).