Capes : variables aléatoires à densité

Rappelons que $m=\frac{a+b}2$ et $\sigma=\frac{b-a}{2\sqrt 3}$ et que $X$ admet pour densité $f(x)=\frac{1}{b-a}\mathbf 1_{[a,b]}(x)$. Remarquons aussi que $$m+\sigma=\frac{a+b}2+\frac{b-a}{2\sqrt 3}\leq \frac{a+b}2+\frac{b-a}2\leq b$$ et de même $m-\sigma\geq a$. Le calcul de la probabilité demandée suit alors la méthode usuelle pour une loi à densité : \begin{eqnarray*} P(X\in [m-\sigma,m+\sigma])&=&\frac{1}{b-a}\int_{m-\sigma}^{m+\sigma}dt\\ &=&\frac{1}{b-a}\times (m+\sigma-m+\sigma)\\ &=&\frac{2\sigma}{b-a}\\ &=&\frac 1{\sqrt 3}. \end{eqnarray*} Remarquons que ceci ne dépend pas de $a$ et de $b$, ce qui est une propriété assez remarquable de la loi uniforme.

L'usager attendra moins de cinq minutes si son heure d'arrivée est comprise entre 7h10 et 7h15, ou entre 7h25 et 7h30. Si on note $X$ la variable aléatoire définie par l'énoncé, ceci revient à $X$ appartient à $[10,15]$ ou $X$ appartient à $[25,30]$. La probabilité recherchée est donc $\frac{5+5}{30}=\frac 13$.
Le raisonnement est identique pour déterminer la probabilité qu'il attende plus de dix minutes. Dans ce cas, l'heure d'arrivée doit être comprise entre 7h et 7h05 ou entre 7h15 et 7h20. On trouve à nouveau une probabilité de 1/3.

Soit $X$ la variable aléatoire donnant la durée de vie d'un atome de radon. On sait que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. On sait que, pour $a>0$, $P(X\geq a)=\int_a^{+\infty}\lambda e^{-\lambda t}dt=e^{-\lambda a}$. L'énoncé nous dit que $$P_{(X\geq 12)}(X\geq 40)=\frac{\sqrt 2}2.$$ On utilise ensuite que la loi exponentielle est sans mémoire pour écrire que $$P(X\geq 28)=P_{(X\geq 12)}(X\geq 28+12)=\frac{\sqrt 2}2=e^{-28 \lambda}.$$ D'autre part, on cherche $$P_{(X\geq 20)}(X>76)=P(X\geq 56)=e^{-56\lambda}=\left(e^{-28\lambda}\right)^2=\frac 12.$$

Notons $X$ la variable aléatoire égale au nombre de mètres parcourus par un javelot lancé par l'athlète $A$. L'énoncé nous dit que $X$ suit une loi normale de paramètre $\mathcal N(m,\sigma^2)$, avec $m$ et $\sigma$ à déterminer, et que $$P(X\geq 75)=0,1,\ P(X\leq 50)=0,25.$$ On va renormaliser ceci pour se ramener à $Y=(X-m)/\sigma$ qui suit une loi normale centrée réduite. On a donc $$P\left(\frac{X-m}{\sigma}\geq \frac{75-m}{\sigma}\right)=0,1\textrm{ et } P\left(\frac{X-m}{\sigma}\leq \frac{50-m}{\sigma}\right)=0,25.$$ Notant $\phi$ la fonction de répartition d'une loi normale centrée réduite, on a donc le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} 1-\phi\left(\frac{75-m}{\sigma}\right)&=&0,1\\ \phi\left(\frac{50-m}{\sigma}\right)&=&0,25 \end{array}\right. \iff \left\{ \begin{array}{rcl} \phi\left(\frac{75-m}{\sigma}\right)&=&0,9\\ \phi\left(\frac{50-m}{\sigma}\right)&=&0,25. \end{array} \right. $$ En s'aidant d'un tableur ou d'une table de la loi normale, on en déduit que, à $10^{-2}$ près, on a $$\left\{\begin{array}{rcl} \frac{75-m}{\sigma}&=&1,28\\ \frac{50-m}{\sigma}&=&-0,67. \end{array} \right.$$ On résout le système et on trouve $m=58,59$ et $\sigma=12,82$. Le javelot parcourt en moyenne 58,59 mètres et l'écart-type est de 12,82.

On va calculer la fonction de répartition de $X$. On remarque que $X\leq x$ si et seulement si $U\geq \exp(-x)$, puisque la fonction $x\mapsto \exp(-x)$ est décroissante. On a donc $$F_X(x)=P(X\leq x)=P(U\geq \exp(-x)).$$ Si $x<0$, alors $\exp(-x)>1$ et donc $F_X(x)=0$. Si $x\geq 0$, alors $\exp(-x)\in[0,1]$ et donc, puis $U$ suit une loi uniforme à valeurs dans $[0,1]$, $$F_X(x)=1-\exp(-x).$$ On reconnait bien la fonction de répartition d'une loi exponentielle de paramètre 1 (on peut encore dériver la fonction de répartition pour retomber sur la densité).