Capes : exercices sur l'analyse asymptotique

Exercice 1 - Equivalents ou pas? ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Quels sont les équivalents corrects parmi les propositions suivantes? $$ \begin{array}{lllll} \mathbf 1.\ n\sim_{+\infty}n+1&\quad&\mathbf 2.\ n^2\sim_{+\infty}n^2+n&\quad&\mathbf 3.\ \ln(n)\sim_{+\infty}\ln(10^6 n)\\ \mathbf 4.\ \exp(n)\sim_{+\infty}\exp\left(n+10^{-6}\right)&\quad&\mathbf 5.\ \exp(n)\sim_{+\infty}\exp(2n)&\quad&\mathbf 6.\ \ln(n)\sim_{+\infty}\ln(n+1). \end{array} $$

Indication

Corrigé

Exercice 2 - Exponentielle et équivalent ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage d'un réel $a$ ou de $a=\pm\infty$. Montrer que $e^f\sim_a e^g\iff \lim_a(f-g)=0$. A-t-on $f\sim_a g\implies e^f\sim_a e^g$?

Indication

Corrigé

Exercice 3 - Somme et produit de DLs ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Calculer les développements limités suivants : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \frac{1}{1-x}-e^x\textrm{ à l'ordre 3 en 0}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \sin x\cos(2x)\textrm{ à l'ordre 6 en 0}&&\displaystyle \mathbf 4.\ \cos(x)\ln(1+x)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\ \displaystyle \mathbf 5.\ (x^3+1)\sqrt{1-x}\textrm{ à l'ordre 3 en 0}&&\displaystyle \mathbf 6.\ \big(\ln(1+x)\big)^2\textrm{ à l'ordre 4 en 0} \end{array}$$

Corrigé

Exercice 4 - Quotient de DLs ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Déterminer les développements limités des fonctions suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \frac{1}{1+x+x^2}\textrm{ à l'ordre 4 en 0}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \tan(x)\textrm{ à l'ordre 5 en 0}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \frac{\sin x-1}{\cos x+1}\textrm{ à l'ordre 2 en 0}&&\displaystyle \mathbf 4.\ \frac{\ln(1+x)}{\sin x}\textrm{ à l'ordre 3 en 0}. \end{array}$$

Indication

Corrigé

Exercice 5 - Composition de DLs ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Calculer les développements limités suivants : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}&& \displaystyle \mathbf 2.\ \exp(\sin x)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ (\cos x)^{\sin x}\textrm{ à l'ordre 5 en 0}&& \displaystyle \mathbf 4.\ x\big(\cosh x\big)^{\frac 1x}\textrm{ à l'ordre 4 en 0}. \end{array}$$

Indication

Corrigé

On commence par écrire $$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4).$$ On peut donc écrire $$\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)=\ln(1+u)\textrm{ avec }u=-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4).$$ En particulier, on remarque que $o(u^2)=o(x^4)$. De plus, on sait que $$\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+o(u^2).$$ On calcule les puissances de $u$, et on les tronque à l'ordre 4. Ainsi, $$u=-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)$$ $$u^2=\frac{x^4}{36}+o(x^4).$$ Il vient \begin{eqnarray*} \ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)&=&\frac{-x^2}{6}+\left(\frac{1}{120}-\frac{1}{2\times 36}\right)x^4+o(x^4)\\ &=&\frac{-x^2}{6}-\frac{x^4}{180}+o(x^4). \end{eqnarray*}
On pose $u=\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)$. $u$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers 0, et on peut bien écrire que $$\exp(u)=1+u+\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{6}+\frac{u^4}{24}+o(u^4).$$ Mais, \begin{eqnarray*} u&=&x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)\\ u^2&=&x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)\\ u^3&=&x^3+o(x^4)\\ u^4&=&x^4+o(x^4). \end{eqnarray*} En remplaçant, on trouve $$\exp(\sin(x))=1+x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+o(x^4).$$
On écrit $$(\cos x)^{\sin x}=\exp\big(\sin x\ln(\cos x)\big).$$ On va donc devoir composer deux DLs, et faire un produit! Soit d'abord $u=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^5)$. On a $$\ln(\cos x)=\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}3-\frac{u^4}4+\frac{u^5}5+o(u^5).$$ D'autre part, \begin{eqnarray*} u&=&-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^5)\\ u^2&=&\frac{x^4}{4}+o(x^5)\\ u^3&=&o(x^5)\\ u^4&=&o(x^5)\\ u^5&=&o(x^5) \end{eqnarray*} Il vient $$\ln(\cos x)=-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}+o(x^5).$$ On en déduit \begin{eqnarray*} \sin(x)\ln(\cos x)&=&\left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)\right)\left(-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}+o(x^5)\right)\\ &=&-\frac{x^3}2+o(x^5) \end{eqnarray*} Finalement, on pose $v=-\frac{x^3}{2}+o(x^3)$, et on voit que $v^2=o(x^5)$. On obtient donc $$\exp\big(\sin x\ln(\cos x)\big)=\exp(v)=1+v+O(v^2)=1-\frac{x^3}{2}+o(x^5).$$ Il y avait finalement moins de calculs que l'on ne pouvait le craindre!
On commence par étudier le DL de $\frac1x\ln(\cosh x)$. Au voisinage de 0, le DL à l'ordre 4 du cosinus hyperbolique est donné par $$\cosh x=1+\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+o(x^4).$$ Celui de $\ln(1+u)$ est donné par $$\ln(1+u)=u-\frac{u^2}2+o(u^2).$$ Il est n'est pas nécessaire d'aller plus loin, car en posant $u=\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+o(x^4)$, on a déjà $o(u^2)=o(x^4)$. Puisque $u^2=\frac{x^4}{4}+o(x^4)$, on a en introduisant dans le DL de $\ln(1+u)$ : $$\frac{1}x\ln(\cosh x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{12}+o(x^3)$$ (on se contente de DLs à l'ordre 3 car on va les multiplier par $x$ à la fin). Pour trouver le DL de $(\cosh x)^{\frac 1x}$, on doit encore composer par l'exponentielle : $$\exp(v)=1+v+\frac{v^2}2+\frac{v^3}{6}+o(v^3)$$ avec \begin{eqnarray*} v&=&\frac{x}{2}-\frac{x^3}{12}+o(x^3)\\ v^2&=&\frac{x^2}4+o(x^3)\\ v^3&=&\frac{x^3}8+o(x^3). \end{eqnarray*} On trouve donc $$(\cosh x)^{\frac{1}x}=1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{8}-\frac{x^3}{16}+o(x^3).$$ Pour la fonction initiale, ceci donne $$x(\cosh x)^{\frac{1}x}=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{8}-\frac{x^4}{16}+o(x^4).$$

Exercice 6 - Régularité d'une fonction ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soient $a,b\in\mathbb R$ et soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\ln(1+x)-x}{x^2}&\textrm{si }x>0\\ ax+b&\textrm{si }x\leq 0. \end{array}\right.$$

Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ et $b$ la fonction $f$ est-elle continue en 0?
Dans la copie de l'élève A, on lit en conclusion de la première question : "$f$ est continue si $a\in\mathbb R$ et $b=-1/2$". Dans la copie de l'élève B, on lit au même endroit : "il faut que $a\in\mathbb R$ et que $b=-1/2$ pour que $f$ soit continue". Qu'en pensez-vous? Comparez avec votre rédaction.
Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ et $b$ la fonction $f$ est-elle dérivable en 0?
Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ et $b$ la fonction $f$ est-elle de classe $C^1$ sur $\mathbb R$?

Indication

Corrigé

$f$ est continue en 0 si et seulement si $f$ admet une limite à droite en $0$, une limite à gauche en $0$, et si ces deux limites coïncident. Bien sûr, $\lim_{x\to 0^-}f(x)=b$. De plus, pour $x>0$, on a $$f(x)=\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}=\frac{x-x^{2}/2+o(x^2)-x}{x^2}=\frac{-1}2+o(1)$$ donc $\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\frac 12.$ Ainsi, $f$ est continue en $0$ si et seulement si $b=-1/2$ (et $a\in\mathbb R$ peut être quelconque).
L'élève A formule que la condition "$b=-1/2$" est une condition suffisante pour que $f$ soit continue en $0$. L'élève B formule que la condition "$b=-1/2$ " est une condition nécessaire pour que $f$ soit continue en 0. Nous avons adopté la bonne formulation, c'est-à-dire que cette condition est nécessaire et suffisante.
D'abord, pour que $f$ soit dérivable, il est nécessaire que $f$ soit continue donc que $b=-1/2$. A nouveau, il faut calculer le taux d'accroissement à droite, à gauche, étudier si ces taux d'accroissement ont une limite et si ces limites coïncident. On a d'une part, pour $x<0$, $$\frac{f(x)-f(0)}x=a\to a$$ et d'autre part, pour $x>0$, $$\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{\ln(1+x)-x+\frac{x^2}2}{x^3}=\frac{1}3+o(1)$$ en effectuant un développement limité à l'ordre 3 du logarithme. Les deux limites coïncident si et seulement si $a=\frac 13$. Donc $f$ est dérivable en $0$ si et seulement si $a=\frac 13$ et $b=-\frac 12$.
D'abord, si $f$ est $C^1$, alors $f$ est dérivable en $0$ et on a nécessairement $a=1/3$ et $b=-1/2$. On fixe donc ce couple de valeurs pour $a$ et $b$ et on regarde si la fonction ainsi définie est de classe $C^1$. Il suffit de vérifier que $f'$ est continue en $0$. Pour $x<0$, on a $f'(x)=\frac 13$ qui tend bien, si $x$ tend vers $0$, vers $f'(0)$. Si $x>0$, alors on a $$f'(x)=\frac{\frac{x}{1+x}-x-2\ln(1+x)+2x}{x^3}.$$ Or, $$\frac x{1+x}=x(1-x+x^2+o(x^2))=x-x^2+x^3+o(x^3)$$ tandis que $$2\ln(1+x)=2x-x^2+\frac{2x^3}3+o(x^3).$$ On en déduit que $$f'(x)=\frac 13+o(1)$$ et donc que $f'(x)$ tend vers $f'(0)$ si $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures. Donc $f$ est $C^1$ si et seulement si $a=1/3$ et $b=-1/2$.

Exercice 7 - Limites de fonctions ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Déterminer les limites des fonctions suivantes : $$\begin{array}{lrl} \displaystyle \mathbf 1.\ \frac{\sin x-x}{x^3}\textrm{ en }0;&& \displaystyle \mathbf 2.\ \frac{1+\ln(1+x)-e^x}{1-\cos x}\textrm{ en }0;\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \frac{\ln(1+x)-\sin(x)}{x^2}\textrm{ en }0;&& \displaystyle \mathbf 4.\ \frac{\exp(x^2)\cos(2x)-1}{\sin(x^2)-x^2}\textrm{ en }0;\\ \displaystyle \mathbf 5.\ \frac{2x}{\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}\textrm{ en }0.\\ \end{array}$$

Indication

Corrigé

Exercice 8 - Comparaison entre exponentielle et factorielle ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $\gamma>0$. Le but de l'exercice est de prouver que $$e^{\gamma n}=o(n!).$$ Pour cela, on pose, pour $n\geq 1$, $u_n=e^{\gamma n}$ et $v_n=n!$.

Démontrer qu'il existe un entier $n_0\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, $$\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq\frac 12\frac{v_{n+1}}{v_n}.$$
En déduire qu'il existe une constante $C>0$ telle que, pour tout $n\geq n_0$, on a $$u_n\leq C\left(\frac 12\right)^{n-n_0}v_n.$$
Conclure.

Indication

Corrigé

Exercice 9 - DL en l'infini ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Calculer les développements limités suivants : $$\begin{array}{lcl} \mathbf 1. \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt x}\textrm{ à l'ordre 3 en }+\infty&& \displaystyle \mathbf 2. \ln\left(x+\sqrt {1+x^2}\right)-\ln x\textrm{ à l'ordre 4 en }+\infty \end{array}$$

Indication

Corrigé

Exercice 10 - Un développement asymptotique ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

On considère, pour chaque entier $n\in\mathbb N$, l'équation $x+\ln(x)=n$.

Démontrer que cette équation admet une unique solution $x_n\in]0,+\infty[$, puis démontrer que la suite $(x_n)$ est strictement croissante.
Démontrer que $(x_n)$ tend vers $+\infty$.
Démontrer que $x_n\sim_{n\to +\infty}n$.
Démontrer que $x_n=n-\ln(n)+o\big(\ln(n)\big)$. On pourra poser $a_n$ tel que $\frac{x_n}n=1+a_n$.
Démontrer que $x_n=n-\ln(n)+\frac{\ln n}n+o\left(\frac{\ln(n)}{n}\right).$
En admettant éventuellement le résultat de la question précédente, dire parmi les propositions suivantes lesquelles sont vraies : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf a.\ x_n\sim_{n\to+\infty} n-\ln(n)&&\displaystyle \mathbf b.\ x_n\sim_{n\to+\infty} n-2\ln(n)\\ \displaystyle \mathbf c.\ x_n=n-\ln(n)+o(\sqrt{\ln n})&&\displaystyle \mathbf d.\ x_n=n-\ln(n)+\frac{\ln(n)}{n}. \end{array}$$

Indication

Corrigé