Résumé de cours : transformation de Laplace
Définition, abscisses de convergence
- On appelle fonction causale toute fonction nulle sur $]-\infty,0[$ et continue par morceaux sur $[0,+\infty[$.
- La fonction échelon-unité est la fonction causale $\mathcal U$ définie par $\mathcal U(t)=0$ si $t<0$ et $\mathcal U(t)=1$ si $t\geq 0$.
- Si $f$ est une fonction causale, la transformée de Laplace de $f$ est définie par $$\mathcal L(f)( p)=\int_0^{+\infty}e^{-pt}f(t)dt$$ pour les valeurs de $p$ pour lesquelles cette intégrale converge.
- On dit que $f$ est à croissance exponentielle d'ordre $p$ s'il existe $A,B>0$ tels que, $$\forall x\geq A, |f(t)|\leq Be^{pt}.$$
- On appelle abscisse de convergence de la transformée de Laplace de $f$ l'élément $p_c\in\overline{\mathbb R}$ défini par $$p_c=\inf\{p\in\mathbb R;\ f\textrm{ est à croissance exponentielle d'ordre }p\}.$$
- Proposition : Si $p>p_c$, alors l'intégrale $\int_0^{+\infty}e^{-pt}f(t)dt$ converge absolument. En particulier, $\mathcal L(f)(p )$ est défini pour tout $p>p_c$.Propriétés de la transformée de Laplace
- La transformée de Laplace est linéaire : $$\mathcal L(af+bg)=a\mathcal L(f)+b\mathcal L(g).$$
- La transformée de Laplace est injective : si $\mathcal L(f)=\mathcal L(g)$ au voisinage de l'infini, alors $f=g$. En particulier, si $F$ est fixée, il existe au plus une fonction $f$ telle que $\mathcal L(f)=F$. $f$ s'appelle l'original de $F$.
- Effet d'une translation : Soit $a>0$ et $g(t)=f(t-a)$. Alors pour tout $p>p_c$, $$\mathcal L(g)(p )=e^{-ap}\mathcal L(f)(p ).$$
- Effet de la multiplication par une exponentielle : Si $g(t)=e^{at}f(t)$, avec $a\in\mathbb R$, alors pour tout $p>p_c+a$, $$\mathcal L(g)(p )=\mathcal L(f)( p-a).$$
- Régularité d'une transformée de Laplace : $\mathcal L(f)$ est de classe $C^\infty$ sur $]p_c,+\infty[$ et pour tout $p>p_c$, $$\mathcal L(f)^{(n)}(p )=\mathcal L( (-t)^n f)(p ).$$
- Comportement en l'infini : On a $\lim_{p\to+\infty}\mathcal L(f)(p )=0$.
Dérivation et intégration- Théorème : Soit $f$ une fonction causale de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$. Alors, pour tout $p>p_c$, $$\mathcal L(f')(p )=p\mathcal L(f)( p)-f(0^+).$$On peut itérer ce résultat, et si $f$ est de classe $C^n$ sur $]0,+\infty[$, alors on a $$\mathcal L(f^{(n)}(p )=p^n \mathcal L(f)(p )-p^{n-1}f(0^+)-p^{n-2}f'(0^+)-\dots-f^{(n-1)}(0^+).$$
- Théorème : Soit $f$ une fonction causale et posons $g(t)=\int_0^t f(x)dx$. Alors, pour tout $p>\max(p_c,0)$, on a $$\mathcal L(g)(p )=\frac 1p\mathcal L(f)(p ).$$
Valeurs initiales et valeurs finales- Théorème : Soit $f$ une fonction causale telle que $f$ admette une limite en $+\infty$. Alors $$\lim_{p\to 0}pF(p )=\lim_{t\to+\infty}f(t).$$
- Théorème : Soit $f$ une fonction causale. Alors $$\lim_{p\to +\infty}pF(p )=f(0^+).$$
Table de transformées de Laplace usuelles$$\begin{array}{c|c} f(t)&\mathcal L(f)( p) \\ \mathcal U(t)&\frac 1p\\ e^{at}\mathcal U(t),\ a\in\mathbb R&\frac 1{p-a}\\ t^n\mathcal U(t),\ n\in\mathbb N&\frac{n!}{p^{n+1}}\\ t^ne^{at}\mathcal U(t),\ n\in\mathbb N,\ a\in\mathbb R&\frac{n!}{(p-a)^{n+1}}\\ \sin(\omega t)\mathcal U(t),\ \omega\in\mathbb R&\frac{\omega}{p^2+\omega^2}\\ \cos(\omega t)\mathcal U(t),\ \omega\in\mathbb R&\frac{p}{p^2+\omega^2}\\ \sin(\omega t)e^{at}\mathcal U(t),\ \omega\in\mathbb R&\frac{\omega}{(p-a)^2+\omega^2}\\ \cos(\omega t)e^{at}\mathcal U(t),\ \omega\in\mathbb R&\frac{p-a}{(p-a)^2+\omega^2}\\ \mathcal U(t-a)f(t-a),\ a>0&e^{-ap}\mathcal L(f)(p )\\ f(t)e^{at}&\mathcal L(f)(p-a)\\ f(at), a>0&\frac 1a\mathcal L(f)\left(\frac pa\right)\\ f'(t)&p\mathcal L(f)(p )-f(0^+)\\ f^{(n)}(t)&p^n \mathcal L(f)(p )-p^{n-1}f(0^+)-p^{n-2}f'(0^+)-\dots-f^{(n-1)}(0^+)\\ \int_0^t f(u)du&\frac 1p\mathcal L(f)(p ) \end{array}$$