Exercices corrigés - Exercices d'oraux Centrale TSI

Probabilités

Exercice 1 - Rang et trace de matrices aléatoires (d'après Oral Centrale TSI) ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soient $X_1, X_2, \dots, X_n$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant chacune une loi de Bernoulli de paramètre $p \in ]0,1[$. On pose \[ X = \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ \vdots \\ X_n \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad M = X X^{\top}. \]

Soit $R$ la variable aléatoire égale au rang de la matrice $M$. Déterminer la loi de $R$.
Soit $T$ la variable aléatoire égale à la trace de la matrice $M$. Déterminer la loi de $T$.
Déterminer la probabilité que $M$ soit la matrice d’un projecteur.

Indication

Corrigé

On commence par remarquer car ce sera utile dans toute la suite de l'exercice, que $$XX^T=(X_iX_j)_{1\leq i,j\leq n}=\begin{pmatrix} X_1X_1&X_1X_2&\dots&X_1X_n\\ X_2X_1&X_2X_2&\dots&X_2X_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ X_nX_1&X_nX_2&\dots&X_nX_n\\ \end{pmatrix}.$$

On va se placer dans un cadre plus général. Si $U=\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}$ et $V= \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}$ sont deux matrices de $\mathcal M_{n,1}(\mathbb R),$ alors on a $$UV^T= \begin{pmatrix} u_1v_1&u_1v_2&\dots&u_1v_n\\ u_2v_1&u_2v_2&\dots&u_2v_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ u_nv_1&u_nv_2&\dots&u_nv_n\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} u_1 V^T\\ u_2 V^T\\ \dots\\ u_n V^T \end{pmatrix}.$$ Ainsi, toutes les matrices de $UV^T$ sont multiples d'une seule ligne, et donc cette matrice est de rang inférieur ou égal à $1.$ Son rang vaut $0$ si et seulement si $U=0$ ou $V=0.$
Dans le cas qui nous concerne, on a $U=V=X,$ et donc le rang de $M$ vaut $0$ si $X=0$, et il vaut $1$ si $X\neq 0.$ Puisque, par indépendance des $X_i,$ \begin{eqnarray*} P(X=0)&=&\prod_{i=1}^n P(X_i=0)\\ &=&(1-p)^n, \end{eqnarray*} la variable aléatoire $R=\textrm{rg}(M)$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $1-(1-p)^n.$
En reprenant l'expression de $M$ donnée ci-dessus, on trouve que $$\textrm{Tr}(M)=\sum_{i=1}^n X_i^2=\sum_{i=1}^n X_i.$$ Puisque les variables aléatoires $X_1,\dots,X_n$ sont des variables aléatoires indépendantes suivant une même loi de Bernoulli de paramètre $p,$ leur somme suit une loi binomiale $\mathcal B(n,p).$
La matrice $M$ est la matrice d'un projecteur si et seulement si $M^2=M.$ Or, $$M^2=(XX^T)(XX^T)=X(X^T X)X^T.$$ Mais $X^TX$ est un scalaire égal à $\sum_{i=1}^n X_i^2=\sum_{i=1}^n X_i.$ On a donc $$M^2=\textrm{Tr}(M) XX^T=\textrm{Tr}(M) M.$$
- Si $\textrm{Tr}(M)=0,$ alors tous les $X_i$ sont nuls, donc $M=0$ et c'est bien la matrice d'un projecteur.
- Si $\textrm{Tr}(M)=1,$ alors $M^2=M$ et c'est bien la matrice d'un projecteur.
- Si $\textrm{Tr}(M)\notin\{0,1\},$ alors $M\neq 0$ et $M^2\neq M,$ donc $M$ n'est pas la matrice d'un projecteur.
Finalement, la probabilité pour que $M$ soit la matrice d'un projecteur vaut $$P(\textrm{Tr}(M)=0)+P(\textrm{Tr}(M)=1)=(1-p)^n +np(1-p)^{n-1}.$$