Exercices corrigés - Fonctions holomorphes usuelles : exponentielle, logarithme, racine carrée, fonctions trigonométriques

On écrit $z=x+iy$ avec $x,y\in\mathbb R.$ On a d'une part $$e^z=e^xe^{iy}\implies \overline{e^z}=e^x e^{-iy}$$ et d'autre part $$\bar z=x-iy\implies e^{\bar z}=e^x e^{-iy}.$$ On a bien l'égalité demandée.

Soit $z=x+iy$ dans ce rectangle, c'est-à-dire avec $a\leq x\leq b$ et $c\leq y\leq d.$ Alors $\exp(z)=e^x e^{iy}$ est donc un élément de $A=\{re^{i\theta}:\ e^a\leq r\leq e^b,\ \theta\in [c,d]\}.$ Réciproquement, un élément $re^{i\theta}$ de $A$ s'écrit $\exp(z)$ avec $z=\ln(r)+i\theta$ qui est bien élément du $[a,b]\times [c,d].$ Géométriquement, on obtient le dessin suivant :

Posons $w=e^{iz}$. Alors l'équation $\cos(z)=2$ est équivalente à $$\frac{w+\frac 1w}2=2\iff w+\frac1{w}=4\iff w^2-4w+1=0.$$ Le discriminant de cette équation est $\Delta=12>0$ et ses racines sont $$w_1=2+\sqrt 3>0\textrm{ et }w_2=2-\sqrt 3>0.$$ Posons $u_1=\ln(2+\sqrt 3)$ et $u_2=\ln(2-\sqrt 3).$ Alors \begin{align*} e^{iz}=w_1=e^{u_1}&\iff \exists k\in\mathbb Z,\ iz=u_1+2ik\pi\\ &\iff z=-iu_1+2k\pi \end{align*} et \begin{align*} e^{iz}=w_2=e^{u_2}&\iff \exists k\in\mathbb Z,\ iz=u_2+2ik\pi\\ &\iff \exists k\in\mathbb Z,\ z=-iu_2+2k\pi \end{align*} Ainsi, l'ensemble des solutions est $$\{-i\ln(2+\sqrt 3)+2k\pi,\ k\in\mathbb Z\}\cup\{-i\ln(2-\sqrt 3)+2k\pi,\ k\in\mathbb Z\}.$$

Les éléments $z$ de $\Omega$ sont ceux dont la forme exponentielle s'écrit $z=\rho e^{i\theta}$ avec $\rho>0$ et $\theta\in]-\pi/4,3\pi/4[$. On a donc $\log(z)=\ln(\rho)+i\theta$ et donc $\log(z)\in \mathbb R+i]-\pi/4,3\pi/4[.$
Réciproquement, si $w\in \mathbb R+i]-\pi/4,3\pi/4[,$ alors $w$ s'écrit $a+ib$ avec $a\in\mathbb R$ et $b\in]-\pi/4,3\pi/4[$. Posons alors $z=e^{a+ib}=e^a e^{ib}.$ On a bien $\log(z)=w$ et $z\in \Omega.$ Ainsi, on a prouvé que $$\log(\Omega)=\mathbb R+i]-\pi/4,3\pi/4[.$$

Non ! Considérons $u=v=e^{i3\pi/4}.$ Alors $\log(u)=\log(v)=\frac{3\pi i}{4}.$ De plus, $uv=e^{i3\pi/2},$ mais $3\pi/2\notin ]-\pi,\pi[.$ On écrit plutôt $e^{i3\pi/2}=e^{-i\pi/2}$ et donc $\log(uv)=-\frac{i\pi}2\neq \log(u)+\log(v).$ Remarquons qu'il était inutile de calculer $\log(uv)$ car on sait que $\log(uv)\in\mathbb R+i]-\pi,\pi[$ ce qui ne pas le cas de $\log(u)+\log(v).$

Les éléments $z$ de $\Omega$ sont ceux dont la forme exponentielle s'écrit $z=\rho e^{i\theta}$ avec $\rho>0$ et $\theta\in]-\pi/4,3\pi/4[$. On a donc $\log(z)=\ln(\rho)+i\theta$ et donc $\log(z)\in \mathbb R+i]-\pi/4,3\pi/4[.$
Réciproquement, si $w\in \mathbb R+i]-\pi/4,3\pi/4[,$ alors $w$ s'écrit $a+ib$ avec $a\in\mathbb R$ et $b\in]-\pi/4,3\pi/4[$. Posons alors $z=e^{a+ib}=e^a e^{ib}.$ On a bien $\log(z)=w$ et $z\in \Omega.$ Ainsi, on a prouvé que $$\log(\Omega)=\mathbb R+i]-\pi/4,3\pi/4[.$$

Soit $z\in U.$ Alors $z$ s'écrit $z=re^{i\theta}$ avec $r>0$ et $\theta\in]-\pi/2,\pi/2[.$ Avec cette écriture, on a $z^{1/4}=r^{1/4}e^{i\theta/4}.$ Ainsi, $z^{1/4}$ s'écrit $\rho e^{i\alpha}$ avec $|\alpha|<\pi/8.$
Réciproquement, soit $V=\{\rho e^{i\alpha}:\ \rho>0,\ |\alpha|<\pi/8\}$ et soit $w=\rho e^{i\alpha}\in V.$ Posons $z=\rho^4 e^{4i\alpha}.$ Alors on a $z\in U$ et $z^{1/4}=w.$ On a donc prouvé que l'image de $U$ par $z\mapsto z^{1/4}$ est $V.$

Pour qu'une fonction holomorphe $f:\Omega\to\mathbb C^*$ admette une racine carrée, il faut et il suffit que l'ouvert $\Omega$ soit simplement connexe. Il suffit ici de vérifier que $\Omega$ est étoilé. Mais on vérifie facilement que $\Omega$ est étoilé en 0 ($\Omega$ est "l'intérieur" d'une hyperbole). En effet, si $(x,y)\in \Omega$, alors pour tout $t\in[0,1]$, on vérifie immédiatement que $(tx,ty)\in\Omega$.

Raisonnons par l'absurde, et supposons que ce soit le cas, et notons $g$ cette fonction. Alors, pour tout $\theta\in\mathbb R$, on a $g(e^{i\theta})^k=e^{i\theta}$. Posons $f(\theta)=\frac{g(e^{i\theta})}{e^{i\theta/k}}$ de sorte que $f^k=1.$ Ainsi, $f:\mathbb R\to \mathbb C$ est une fonction continue à valeurs dans $\mathbb U_k$, qui est un ensemble fini. Par connexité de $\mathbb R,$ $f$ doit être constante. Mais $f(0)=g(1)$ alors que $f(2\pi)=g(1)e^{-i2\pi/k}\neq f(0),$ ce qui est une contradiction.