Exercices corrigés - Singularités des fonctions holomorphes, fonctions méromorphes

On décompose la première série en $$\sum_{n\geq 0} (az)^n+\sum_{n\geq 1}\frac{a^n}{z^n}.$$ Or, $\sum_{n\geq 0}|az|^n$ converge pour $|az|<1$, c'est-à-dire pour $|z|<1/|a|$. De même, $\sum_{n\geq 0}\left|\frac{a^n}{z^n}\right|$ converge pour $|a/z|<1$, c'est-à-dire pour $|z|>|a|$. Les deux contraintes sont compatibles si et seulement si $1/|a|>|a|$, c'est-à-dire $|a|<1$. Dans ce cas, la couronne de convergence de la série de Laurent est $\{z\in\mathbb C; |a|<|z|<1/|a|\}$. Sinon, la couronne de convergence est vide.
Pour la seconde série, puisque $R$ est une fraction rationnelle, on a, pour $|n|$ assez grand $$C^{-1}|n|^{-p}\leq |R(n)|\leq C |n|^p$$ pour $C$ et $p$ des constantes. On a donc, pour $n\geq 0$ assez grand, $$C^{-1}n^{-p} |z|^n \leq |R(n)z^n|\leq C n^p|z|^n.$$ La série $\sum_{n\geq 0}R(n)z^n$ converge donc absolument si $|z|< 1$ et diverge si $|z|>1$. De même, pour $n\leq 0$ assez petit, on a $$C^{-1} \frac{|n|^{-p}}{|z|^{-n}}\leq |R(n)z^n|\leq C \frac{|n|^{-p}}{|z|^{-n}}.$$ La série $\sum_{n\leq 0}R(n)z^n$ converge donc absolument si $|1/z|<1$, c'est-à-dire $|z|>1$ et diverge si $|z|<1$. Les deux conditions sont incompatibles. La couronne de convergence de cette série de Laurent est vide.

Pour $|z|>0$, on a $$\exp\left(\frac{1}{z}\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n! z^n}.$$ Ainsi, il vient $$f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n! z^{n-2}}.$$ Pour $g$, on commence par écrire \begin{eqnarray*} g(z)&=&\exp\left(z\right)\exp\left(\frac1z\right)\\ &=&\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}\right)\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n! z^n}\right)\\ &=&\sum_{k=-\infty}^{+\infty}c_k z^k. \end{eqnarray*} Les coefficients $c_k$ sont obtenues de la façon suivante :

• Pour $k\geq 0$, les termes en $z^k$ s'obtiennent en prenant tous les termes de la forme $z^{n+k}$ apparaissant dans $\exp(z)$ multipliés par les termes en $1/z^n$ de $\exp(1/z)$. On a donc : $$c_k=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(n+k)!n!}.$$
• Pour $k<0$, les termes en $z^k$ s'obtiennent en prenant tous les termes de la forme $1/z^{n-k}$ apparaissant dans le développement de $\exp(1/z)$ multipliés par les termes en $z^n$ de $\exp(z)$. On a donc : $$c_k=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(n-k)!n!}.$$

Finalement, cela peut encore s'écrire $$g(z)=\sum_{k\in\mathbb Z}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(n+|k|)!n!}z^k.$$ Pour $h$, on commence par décomposer la fraction en éléments simples : $$h(z)=\frac1{z-2}-\frac1{z-1}.$$ Dans le cas (i), les deux fonctions sont holomorphes dans le disque unité, il s'agit simplement de les décomposer en séries entières. On a donc $$\frac{-1}{z-1}=\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{+\infty}z^n$$ puis $$\frac{1}{z-2}=\frac{-1/2}{1-z/2}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{2^n}.$$ Ainsi, dans le disque $\{z:\ |z|<1\}$, le développement en série de Laurent de $h$ est $$\sum_{n=0}^{+\infty}\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)z^n.$$ Dans (ii), le développement de $1/(z-1)$ donné précédemment ne fonctionne plus, car on est au-delà du pôle. Il faut cette fois développer par rapport à $1/z$. On obtient $$\frac{-1}{z-1}=\frac{-1}{z}\times\frac{1}{1-1/z}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{-1}{z^{n+1}}.$$ Le développement de $\frac{1}{z-2}$ ne change pas et on trouve, dans la couronne $1<|z|<2$, $$h(z)=\sum_{n=-\infty}^{-1}-z^n+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{-z^n}{2^{n+1}}.$$ Dans le cas (iii), il faut maintenant aussi changer le développement de $1/(z-2)$. On trouve $$\frac{1}{z-2}=\frac{1}{z}\times \frac{1}{1-2/z}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2^n}{z^n}.$$ Finalement, le développement en série de Laurent de $h$ dans cette couronne est $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2^n-1}{z^{n+1}}.$$ Pour (iv), la couronne est maintenant centrée en $1$. Ainsi, le terme $\frac 1{z-1}$ n'a pas à être simplifié. La fonction $z\mapsto \frac 1{z-2}$ est holomorphe dans $\{z:\ |z-1|<1\}$ et on doit la décomposer en série entière dans ce disque centré en $1$. On trouve $$\frac 1{z-2}=\frac{-1}{1-(z-1)}=-\sum_{n=0}^{+\infty} (z-1)^n.$$ Finalement, le développement en série de Laurent de la fonction dans la couronne $\{z\in\mathbb C:\ 0<|z-1|<1\}$ est $$\frac{-1}{z-1}-\sum_{n=0}^{+\infty} (z-1)^n.$$

On commence par décomposer $f$ en éléments simples. On trouve facilement que $$f(z)=\frac{1/2}{z-2}-\frac1{z-3}+\frac{1/2}{z-4}.$$ Puisqu'on cherche un développement en série de Laurent d'une fonction dans une couronne centrée en $2$, on cherche une somme faisant apparaître des puissances $(z-2)^k$. Bien sûr, pour $1/(z-2),$ il n'y a rien à faire. Traitons $1/(z-3)$. On écrit, pour $1<|z-2|<2,$ \begin{align*} \frac1{z-3}&=\frac{1}{(z-2)-1}\\ &=\frac{1}{z-2}\times\frac{1}{1-\frac{1}{z-2}}. \end{align*} Comme $|z-2|>1$, on a $1/|z-2|<1$ et on peut écrire \begin{align*} \frac1{z-3}&=\frac1{z-2}\times \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(z-2)^n}\\ &=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{(z-2)^{n}}. \end{align*} Traitons maintenant $1/(z-4)$. On écrit \begin{align*} \frac1{z-4}&=\frac{1}{(z-2)-2}\\ &=\frac{-1/2}{1-\frac{z-2}2}. \end{align*} Cette fois, puisque $|z-2|<2$, on obtient le développement \begin{align*} \frac1{z-4}&=\frac{-1}2\times \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(z-2)^n}{2^n}. \end{align*} Finalement, on obtient le développement en série de Laurent $$f(z)=-\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{(z-2)^n}-\frac{1/2}{z-2}-\sum_{n=0}^{+\infty}\frac1{2^{n+2}}(z-2)^n.$$

1. Il suffit de prendre la direction $]-\infty,0[$.
2. Il suffit de prendre la direction $]0,+\infty[$.
3. Il suffit de prendre la direction $i\mathbb R_+$.

Le point $0$ est donc une singularité essentielle.

On applique la méthode suivante. Soit $a$ une singularité isolée de $f$. Alors

• $a$ est une singularité effaçable ssi $f$ admet une limite (ou même est bornée) en $a$;
• $a$ est un pôle ssi $|f|$ tend vers $+\infty$ en $a$;
• $f$ est une singularité essentielle ssi on peut trouver deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ qui convergent vers $a$, mais telles que $f(u_n)$ et $f(v_n)$ ne convergent pas vers la même limite.

Étudions maintenant les fonctions une à une :

• La seule singularité de $f:z\mapsto \exp(1/z)$ est en 0. Dans ce cas, si $u_n=1/n$, alors $f(u_n)=\exp(n)\to+\infty$ tandis que pour $v_n=1/(in)$, on a $f(v_n)=\exp(in)$ est bornée. $0$ est donc une singularité essentielle de $f$. On pouvait aussi remarquer que le développement en série de Laurent de $f$ en 0 fait apparaitre une partie singulière infinie.
• $z\mapsto \frac{1}{\sin z}-\frac1z$ : il y a des singularités en chaque $k\pi$, avec $k\neq 0$. Pour $k=0$, on a \begin{eqnarray*} \frac{1}{\sin z}-\frac{1}{z}&=&\frac{1}{z+o(z^2)}-\frac{1}{z}=\frac{1}{z}\left(\frac{1}{1+o(z)}-1\right)\\ &=&\frac1z\left(1+o(z)-1\right)=o(1). \end{eqnarray*} Ainsi, la fonction admet une limite en 0 : 0 est donc une fausse singularité. Pour $k\neq 0$, en $k\pi$, on a $z\to k\pi\implies |1/\sin(z)|\to +\infty$ tandis que $1/z\to 1/k\pi$. $k\pi$, $k\neq 0$, est donc un pôle de la fonction.
• $z\mapsto \frac{1}{\exp(z)-1}-\frac{1}{z}$ : il y a une singularité en chaque $2ik\pi$, $k\in\mathbb Z$. En faisant exactement le même raisonnement que pour la fonction précédente, on prouve que $0$ est une fausse singularité. Par ailleurs, les autres $2ik\pi$, $k\neq 0$, sont des pôles, car le module de la fonction tend vers $+\infty$ si $|z|\to 2ik\pi$.
• $f:z\mapsto \exp\left(\frac z{1-z}\right)$ : on a une singularité seulement en $z=1$. Prenant $u_n=1+1/n$, on a $f(u_n)=\exp(n+1)\to+\infty$ tandis que, pour $v_n=1+1/(in)$, on a $f(v_n)=\exp(in(1+1/(in)))=\exp(1+in)$ est borné. $1$ est une singularité essentielle.
• $f:z\mapsto \sin\left(\frac{1}{\sin(1/z)}\right)$ : la fonction n'est pas définie en 0 et en $1/k\pi$, $k$ entier non nul. 0 n'est pas un point singulier isolé, mais une accumulation de points singuliers. En revanche, chaque $1/k\pi$ est un point singulier isolé. On va prouver qu'ils sont des points singuliers essentiels. En effet, pour $u_n$ définie par $$\frac{1}{u_n}=k\pi+\textrm{arcsin}(1/n\pi),$$ on a $u_n\to1/k\pi$ et $$f(u_n)=\sin\left(\frac{1}{\sin(k\pi+\textrm{arcsin}(1/n\pi))}\right)=\sin\left(\frac1{(-1)^k 1/n\pi}\right)=\sin((-1)^k n\pi)=0.$$ D'autre part, pour $v_n$ définie par $$\frac{1}{v_n}=k\pi+\textrm{arcsin}(2/(\pi(1+4n))),$$ on a $v_n\to 1/k\pi$ alors que $$f(v_n)=\sin\left((-1)^k \frac{\pi+4n\pi}{2}\right)=\sin\left((-1)^k\frac\pi 2\right)\to (-1)^k.$$ Ceci prouve que $1/k\pi$ est une singularité essentielle : si c'était un pôle, $(|f(u_n)|)$ devrait tendre vers $+\infty,$ et si c'était une fausse singularité, $(f(u_n))$ et $(f(v_n))$ devraient avoir la même limite puisque $f$ se prolongerait holomorphiquement en $1/k\pi.$

On part des deux briques de base suivantes : les fonctions $z\mapsto 1/(z-a)^p$ qui admettent un pôle d'ordre $p$ en $a$, et $z\mapsto e^{1/z}$, qui admet un point singulier essentiel en 0. On a alors les exemples suivants :

1. $\displaystyle z\mapsto \frac 1{z^3}+\frac{1}{z-1}+e^{\frac{1}{z^2+1}}$;
2. $\displaystyle z\mapsto \exp\left(\frac 1{\sin(\pi z)}\right)$.

On vérifie aisément que ces fonctions ont les propriétés voulues.