Exercices corrigés - Généralités sur les fonctions : ensembles de définition, fonctions paires, impaires

Dans ce genre d'exercices, le plus naturel est de revenir à la définition. Soit $x\in \mathbb R$. Alors \begin{eqnarray*} (f\times g)(-x)&=&f(-x)\times g(-x)\\ &=&(-f(x))\times (-g(x))\\ &=&f(x)\times g(x)\\ &=&(f\times g)(x). \end{eqnarray*} Ainsi, $f\times g$ est paire. De même, \begin{eqnarray*} (f+g)(-x)&=&f(-x)+ g(-x)\\ &=&(-f(x))+(-g(x))\\ &=&-(f(x)+g(x))\\ &=&-(f+ g)(x). \end{eqnarray*} Donc $f+g$ est impaire. Enfin, \begin{eqnarray*} (f\circ g)(-x)&=&f(g(-x))\\ &=&f(-g(x))\\ &=&-f(g(x))\\ &=&-(f\circ g)(x). \end{eqnarray*} Donc $f\circ g$ est impaire.

Un dessin convainc facilement que la restriction de $f$ à $\mathbb R_+$ doit être décroissante. Il faut maintenant trouver la preuve de cela. On va revenir aux définitions. On considère $0\leq x\leq y$, et on remarque que l'on a alors $0\geq -x\geq -y$. Puisque $f$ est croissante sur $\mathbb R_-$, alors $$f(-x)\geq f(-y).$$ Puisque $f$ est paire, on a donc $$f(x)=f(-x)\geq f(y)=f(-y).$$ Ceci nous dit exactement que $f$ est décroissante sur $\mathbb R_+$.

On va d'abord démontrer que $J$ est symétrique par rapport à $0$. Pour cela, prenons $y\in J$. Alors il existe $x\in I$ tel que $y=f(x)$. Mais alors, $-y=-f(x)=f(-x)$ est aussi élément de $J$. De plus, on a $f^{-1}(y)=x$ et $f^{-1}(-y)=-x=-f^{-1}(y)$. La fonction réciproque $f^{-1}$ est bien impaire.
Cela n'a pas de sens de remplacer impaire par paire dans cet énoncé. En effet, une fonction paire n'est jamais bijective (car $f(-x)=f(x)$) sauf si son ensemble de définition est restreint à $\{0\}$.

Soit $x\in\mathbb R$. On a \begin{eqnarray*} f_1(-x)&=&e^{-x}-e^{-(-x)}\\ &=&e^{-x}-e^{x}=-f_1(x). \end{eqnarray*} La fonction $f_1$ est impaire. De même, \begin{eqnarray*} f_2(-x)&=&\frac{e^{-2x}-1}{e^{-2x}+1}\\ &=&\frac{e^{-2x}(1-e^{2x})}{e^{-2x}(1+e^{2x})}\\ &=&-\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=-f_2(x). \end{eqnarray*} La fonction $f_2$ est impaire. Enfin, \begin{eqnarray*} f_3(-x)&=&\frac{e^{-x}}{(e^{-x}+1)^2}\\ &=&\frac{e^{-x}}{e^{-2x}(1+e^{x})^2}\\ &=&\frac{e^x}{(1+e^{x})^2}=f_3(x). \end{eqnarray*} La fonction $f_3$ est elle aussi paire.

Soit $x\in\mathbb R$. Alors $$f(x+1)=f(x+3-2)=f\big( (x+3)-2\big)=f(x+3)=f(x).$$ Ainsi, la fonction $f$ est bien $1$-périodique.

On sait que $\ln(u)$ est défini uniquement si $u>0$. Donc $\ln\left(\left|\sin\left(\frac\pi2 x\right)\right|\right)$ est défini uniquement si $\left|\sin\left(\frac\pi2 x\right)\right|$ est strictement positif. La valeur absolue d'un réel étant toujours positive ou nulle, la fonction $f$ est bien définie pour les réels $x$ tels que $$\sin\left(\frac\pi2 x\right)\neq 0.$$ Mais on a \begin{align*} \sin\left(\frac\pi2 x\right)=0&\iff \exists k\in\mathbb Z,\ \frac\pi2x=k\pi\\ &\iff \exists k\in\mathbb Z,\ x=2k. \end{align*} La fonction $f$ est donc bien définie pour tous les réels, sauf les entiers pairs : $\mathcal D_f=\mathbb R\backslash 2\mathbb Z$.
Pour déterminer la parité de $f$, remarquons déjà que son domaine de définition est symétrique par rapport à $0$, et donc que si $x\in\mathcal D_f$, alors $-x\in\mathcal D_f$. Soit donc $x\in\mathcal D_f$. Alors \begin{align*} f(-x)&=\ln\left(\left|\sin\left(-\frac\pi2 x\right)\right|\right) \\ &=\ln\left(\left|-\sin\left(\frac\pi2 x\right)\right|\right)\textrm{ (car la fonction $\sin$ est impaire)}\\ &=\ln\left(\left|\sin\left(\frac\pi2 x\right)\right|\right) \textrm{ (car la fonction $|\cdot|$ est paire)}\\ &=f(x). \end{align*} Ainsi, la fonction $f$ est paire.
De plus, on a \begin{align*} f(x+2)&=\ln\left(\left|\sin\left(\frac\pi2 (x+2)\right)\right|\right)\\ &=\ln\left(\left|\sin\left(\frac\pi2 x+\pi\right)\right|\right)\\ &=\ln\left(\left|-\sin\left(\frac\pi2 x\right)\right|\right)\\ &=\ln\left(\left|\sin\left(\frac\pi2 x\right)\right|\right)\\ &=f(x) \end{align*} où on a utilisé que $\sin(t+\pi)=-\sin t$ et que $|-a|=|a|$. Ainsi, $f$ est périodique de période $2$.

On vérifie facilement que $f$ est périodique de période $12\pi.$ En effet, pour tout $x\in\mathbb R,$ on a \begin{align*} f(x+12\pi)&=\sin\left(\frac{x+12\pi}3\right)+\cos\left(\frac{x+12\pi}2\right)\\ &=\sin\left(\frac x3+4\pi\right)+\cos\left(\frac x2+6\pi\right)\\ &=\sin(x/3)+\cos(x/2)=f(x). \end{align*}