Exercices corrigés - Espaces complets, espaces de Banach

Une suite convergente admet toujours une sous-suite convergente. Réciproquement, si $(u_n)$ admet une sous-suite $(u_{\varphi(n)})$ qui converge vers $l$, on fixe $\veps>0$. Puisque $(u_n)$ est de Cauchy, il existe $N_1$ tel que $$n,p\geq N_1\implies \|u_n-u_p\|\leq \veps.$$ On fixe ensuite $n_0$ tel que $\varphi(n_0)>N_1$ et $\|u_{\varphi(n_0)}-l\|\leq \veps$. Pour $n\geq\varphi(n_0)\geq N_1$, on a d'après l'inégalité triangulaire : $$\|u_n-l\|\leq \|u_n-u_{\varphi(n_0)}\|+\|u_{\varphi(n_0)}-l\|\leq 2\veps.$$

Supposons que $\sum_{n\geq 1}d(x_n,x_{n+1})<+\infty$. Alors, la suite $(S_n)$ définie par $S_n=\sum_{k=1}^{n}d(x_k,x_{k+1})$ est de Cauchy. Pour tout $\veps>0$, il existe $N\in\mathbb N$ tel que, pour $q\geq p\geq N$, on a $$\sum_{k=p}^{q-1} d(x_k,x_{k+1})<\veps.$$ Par l'inégalité triangulaire, on a $$d(x_p,x_q)\leq d(x_p,x_{p+1})+d(x_{p+1},x_{p+2})+\dots+d(x_{q-1},x_q)<\veps.$$ Ainsi, la suite $(x_k)$ est de Cauchy.
La réciproque est fausse. Travaillons avec $X=\mathbb R$ muni de sa métrique usuelle et posons $x_n=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}k$. Alors la suite $(x_n)$ converge d'après le critère des séries alternées, donc elle est de Cauchy. Mais, $d(x_n,x_{n+1})=\frac 1{n+1}$, qui est le terme général d'une série divergente.

$\delta$ est une distance. En effet, on a :

• $\delta(x,y)=\delta(y,x)$.
• $\delta(x,z)=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{z}\right|\leq\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|+\left|\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\right|=\delta(x,y)+\delta(y,z).$
• $\delta(x,y)=0$ si et seulement si $x=y$.

L'espace $(X,\delta)$ est donc un espace métrique. Il n'est pas complet. Prenons en effet la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq 1$ par $u_n=n$. Cette suite $(u_n)$ est de Cauchy. En effet, $$\delta(u_n,u_{n+p})\leq\frac{1}{n}+\frac{1}{n+p}\leq\frac{2}{n}.$$ Cette suite est donc une suite de Cauchy. Elle ne peut converger, car si sa limite était $l$, on aurait : $$\left|\frac{1}{n}-\frac{1}{l}\right|\to 0,$$ ce qui entraîne $1/l=0$ ce qui est bien sûr impossible.

Soit $(f_n)$ une suite de Cauchy de $B(X,\mtr)$. Fixons $x\in X$. Pour tous $p,q$ appartenant à $\mathbb N$, on a : $|f_p(x)-f_q(x)|\leq\|f_p-f_q\|$. La suite $(f_n(x))$ est donc de Cauchy dans $\mtr$, et comme $\mtr$ est complet, la suite $(f_n(x))$ converge. On note $f(x)$ sa limite. On définit ainsi une application $f$ de $X$ dans $\mtr$. Cette application est bornée. En effet, la suite $(f_n)$ est une suite de Cauchy, elle est donc bornée par une constante $M$. Mais alors, pour tout $x\in X$, on a : $|f_n(x)|\leq \|f_n\|\leq M$. Par passage à la limite, on a donc $|f(x)|\leq M$, et ceci prouve que $f\in B(X,\mtr)$, avec $\|f\|\leq M$. Il reste à prouver que $(f_n)$ converge vers $f$ dans $B(X,\mtr)$. Soit $\veps>0$. Il existe un entier $N>0$ tel que, pour tous $p,q>N$, on a : $$\|f_p-f_q\|\leq\veps.$$ On fixe $x$ dans $X$. On a donc : $$|f_p(x)-f_q(x)|\leq\veps.$$ On fait tendre $p$ vers $+\infty$. On a donc : $$|f(x)-f_q(x)|\leq\veps.$$ Puisque cette inégalité est vraie pour tout $x$ dans $X$, on a : $$\|f-f_q\|\leq\veps.$$ Ceci est vrai pour tout $q\geq N$, et donc $(f_q)$ converge vers $f$.
Finalement, toute suite de Cauchy $(f_n)$ de $B(x,\mtr)$ converge, donc $B(X,\mtr)$ est complet.

Soit $(f_n)$ une suite de Cauchy de $(E,N)$. Alors $(f_n)$ est une suite de Cauchy de $\mathcal C([0,1])$ muni de $\|\cdot\|_\infty$. Ce dernier espace étant complet, la suite $(f_n)$ converge vers une fonction $f$ continue. De même, la suite $(f_n')$ est une suite de Cauchy du même espace. Elle converge donc vers une fonction $g$ continue. Ainsi, la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers $f$ et la suite $(f_n')$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers $g$. Des théorèmes sur la convergence uniforme des suites de fonctions, on déduit que $f$ est $C^1$ et que $f'=g$. De plus, dire que $\|f_n-f\|_\infty$ et $\|f_n'-f'\|_\infty$ tendent vers zéro implique que $N(f_n-f)$ tend vers 0 et donc que $(f_n)$ converge vers $f$ dans $E$. L'espace $(E,N)$ est bien complet.

Soit $(f_n)$ une suite de Cauchy de $(E,N)$. Alors, par définition de $N$, c'est aussi une suite de Cauchy de $(\mathcal C([0,1],\|\cdot\|_\infty)$ qui est complet. En particulier, il existe une fonction $f$ continue sur $[0,1]$ telle que $\|f-f_n\|_\infty\to 0$. Prouvons ensuite que $f$ est lipschitzienne. La suite $(f_n)$ étant une suite de Cauchy, elle est bornée, disons par $C>0$. En particulier, pour tous $0\leq x<y\leq 1$, on a $$ \frac{|f_n(x)-f_n(y)|}{|x-y|}\leq C.$$ Passant à la limite, on trouve $$\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}\leq C$$ et donc $f$ est bien lipschitzienne. Il reste à prouver que $(f_n)$ converge vers $f$ pour la norme $N$. Soit $\veps>0$. Il existe $N\in\mathbb N$ tel que, pour tous $q\geq p\geq N$, et pour tous $0\leq x<y\leq 1$, on a $$\|f_p-f_q\|_\infty+\frac{|(f_p-f_q)(x)-(f_p-f_q)(y)|}{|x-y|}\leq \veps.$$ On fait tendre $q$ vers l'infini, et il vient $$\|f_p-f\|_\infty+\frac{|(f_p-f)(x)-(f_p-f)(y)|}{|x-y|}\leq \veps.$$ Ceci étant vrai pour tous $0\leq x<y\leq 1$, on a finalement $$N(f_p-f)\leq\veps$$ ce qui achève la preuve du fait que $(E,N)$ est complet.

Soit $(f_n)$ une suite de Cauchy de $\mcl_c(E,F)$. Fixons $\veps>0$. Il existe $N\in\mtn$ tel que, si $p,q\geq N$, on a : $$\|f_p-f_q\|\leq\veps.$$ Fixons provisoirement $x\in E$. Alors, on a : $$\|f_p(x)-f_q(x)\|\leq\|f_p-f_q\|\|x\|\leq\|x\|\veps.$$ Ceci prouve que la suite $(f_p(x))$ est de Cauchy dans $F$. Or, $F$ est complet. Cette suite est donc convergente. On note $f(x)$ sa limite. Remarquons d'abord que, par passage à la limite dans $$f_n(\lambda x+\mu y)=\lambda f_n(x)+\mu f_n(y),$$ la fonction limite $f$ est linéaire. En outre, la suite $(f_n)$ étant de Cauchy, elle est majorée, disons par $M$. Autrement dit, pour tout $x\in E$, pour tout $n\in\mtn$, on a : $$\|f_n(x)\|\leq M\|x\|.$$ Cette inégalité passe à la limite, et donc $f\in\mcl_c(E,F)$. Il reste à prouver la convergence de $(f_n)$ vers $f$ dans $\mcl_c(E,F)$. Mais, pour tout $x$ dans $E$, et pour $p,q\geq N$, on a : $$\|f_p(x)-f_q(x)\|\leq\veps\|x\|.$$ On fait tendre $p$ vers $+\infty$ : pour $q\geq N$,on a donc : $$\|f(x)-f_q(x)\|\leq\veps\|x\|\implies \|f-f_q\|\leq\veps.$$ La suite $(f_n)$ converge vers $f$, et l'espace $\mcl_c(E,F)$ est complet!

1. Remarquons que, puisque $|\cos x|\leq 1$ et que $|1/(1+x^2)|\leq 1$ pour tout $x\in\mathbb R$, l'inégalité des accroissements finis nous dit que, pour tous $(u,v)\in\mathbb R^2$, on a $$|\sin(u)-\sin(v)|\leq |u-v|\textrm{ et }|\arctan(u)-\arctan(v)|\leq |u-v|.$$ Ainsi, on obtient \begin{eqnarray*} \|f(x,y)-f(x',y')\|_1&\leq&\frac14|\sin(x+y)-\sin(x'+y')|+\frac23|\arctan(x-y)-\arctan(x'-y')|\\ &\leq&\frac{1}4|(x+y)-(x'+y')|+ \frac23|(x-y)-(x'-y')|\\ &\leq&\frac{1}4|(x-x')+(y-y')|+\frac23|(x-x')-(y-y')|\\ &\leq&\left(\frac14+\frac23\right)\big(|x-x'|+|y-y'|\big)\\ &\leq&\frac{11}{12}\|(x,y)-(x',y')\|_1 \end{eqnarray*}
2. La fonction $f$ est contractante, et $\mathbb R^2$ muni de $\|.\|_1$ est un espace de Banach. D'après le théorème du point fixe, il existe un unique couple $(x,y)\in\mathbb R^2$ tel que $(x,y)=f(x,y)$. Autrement dit, le système admet une unique solution.
3. L'utilisation de la norme $\|.\|_\infty$ ne convenait pas, car $f$ n'est pas contractante lorsqu'on utilise cette norme. En effet, choisissons $x>0$ et $y=-x$. On a alors $$\|f(x,-x)-f(0,0)\|_\infty\geq \frac23\big(\arctan(2x)-\arctan(0)\big).$$ D'après l'égalité des accroissement finis appliqués à la fonction $g:t\mapsto \arctan(t),$ sur $[0,2x]$ avec $g'(t)=\frac{1}{1+t^2}$ qui vérifie, pour tout $t\in[0,2x],$ $$\frac1{1+4x^2}\leq g'(t)\leq 1,$$ on a $$\|f(x,-x)-f(0,0)\|_\infty \geq\frac{4x}{3(1+4x^2)}.$$ Si $f$ était $k$-contractante, avec $k\in[0,1[$, on aurait : $$\frac{2x}{1+4x^2}\leq \|f(x,-x)-f(0,0)\|_\infty\leq k\|(x,-x)-(0,0)\|_\infty\leq kx.$$ Faisant tendre $x$ vers 0, on obtiendrait $2\leq k$, une contradiction.

Soit $f$ l'application de $\mtr^2$ dans $\mtr^2$ définie par : $$f(x_1,x_2)=\left(\frac{1}{5}(2\sin x_1 + \cos x_2 ),\frac{1}{5}( \cos x_1 +3 \sin x_2)\right).$$ On munit $\mtr^2$ de la norme $\|(x_1,x_2)\|=\max(|x_1|,|x_2|)$. On va montrer que $f$ est contractante, d'où l'on déduit par le théorème du point fixe qu'elle admet un unique point fixe, ce qui est encore équivalent à dire que le système de départ admet une unique solution. Soit $X=(x_1,x_2)\in\mtr^2,\ Y=(y_1,y_2)\in\mtr^2$. On a : $$\frac{1}{5}\left|2\sin x_1 + \cos x_2 -2\sin y_1-\cos y_2\right|\leq \frac{1}{5}\left(2|x_1-y_1|+|x_2-y_2|\right)\leq \frac{3}{5}\|X-Y\|,$$ où on a utilisé notamment l'inégalité des accroissements finis pour les fonctions sinus et cosinus. On a également la même inégalité pour la seconde coordonnée (avec 4/5 au lieu de 3/5), ce qui prouve : $$\|f(X)-f(Y)\|\leq \frac{4}{5}\|X-Y\|.$$ L'application est contractante.

Pour chaque $\lambda\in X$, l'application $x\mapsto F(\lambda,x)$ est contractante et admet donc un unique point fixe $x_\lambda$. Fixons ensuite $\lambda,\lambda'\in X$. On a : \begin{eqnarray*} \|x_\lambda-x_{\lambda'}\|&=&\|F(\lambda,x_\lambda)-F(\lambda',x_{\lambda'})\|\\ &\leq&\|F(\lambda,x_\lambda)-F(\lambda,x_{\lambda'})\|+\|F(\lambda,x_{\lambda'})-F(\lambda',x_{\lambda'})\|\\ &\leq&k\|x_\lambda-x_{\lambda'}\|+\|F(\lambda,x_{\lambda'})-F(\lambda',x_{\lambda'})\|. \end{eqnarray*} On en déduit : $$\|x_{\lambda}-x_{\lambda'}\|\leq \frac{1}{1-k}\|F(\lambda,x_{\lambda'})-F(\lambda',x_{\lambda'})\|.$$ Maintenant, la continuité de $\lambda\mapsto F(\lambda,x_{\lambda'})$ entraîne que $x_\lambda$ converge vers $x_{\lambda'}$ si $\lambda$ tend vers $\lambda'$.

Soit, pour chaque entier $n$, un élément $x_n$ appartenant à $F_n$. Remarquons que, si $N$ est fixé, et $p,q\geq N$, par décroissance de la suite $(F_n)$, on a : $$d(x_p,x_q)\leq \diam(F_N).$$ Puisque la suite des diamètres tend vers 0, la suite $(x_n)$ est de Cauchy, et puisque $X$ est complet, elle converge. Soit $x$ sa limite. Si $N$ est fixé, par décroissance de la suite $(F_n)$, la suite $(x_n)$ est dans $F_N$ à partir d'un certain rang, et comme cet ensemble est fermé, la limite appartient également à cet ensemble. En conclusion, $x\in\bigcap_n F_n$. Remarquons pour conclure que $x$ est le seul élément qui peut-être dans cette intersection, puisque le diamètre tend vers 0.

L'implication directe est du cours. Elle utilise simplement que si la série $\sum \|x_n\|$ converge, la suite de ses sommes partielles est une suite de Cauchy. Donc, par l'inégalité triangulaire, la suite des sommes partielles de $\sum_n x_n$ est aussi une suite de Cauchy, donc une suite convergente.
Pour la réciproque, on considère $(x_n)$ une suite de Cauchy de $E$. Il faut fabriquer sa limite. On va le faire en faisant le lien entre suite et série télescopique. Malheureusement, on ne peut pas utiliser directement $\sum_n x_{n+1}-x_n$ car rien ne dit que cette série est convergente. Il faut prendre des indices plus espacés qui vont nous être donnés par le fait que $(x_n)$ est de Cauchy. On définit ainsi par récurrence sur $j\geq 0$ une suite croissante $(n_j)$ de sorte que, pour tout $n\geq n_j$, $\|x_n-x_{n_j}\|\leq 2^{-j}$. L'existence d'une telle suite suit immédiatement du fait que $(x_n)$ est une suite de Cauchy. Posons ensuite $y_j=x_{n_{j+1}}-x_{n_j}$. Alors, $\|y_j\|\leq 2^{-j}$ et donc la série $\sum_j \|y_j\|$ est absolument convergente. Par hypothèse, elle est convergente, et notons $\ell$ sa somme. Les sommes partielles de cette série se calculent facilement : $$\sum_{j=0}^J y_j=x_{n_J}-x_{n_0}.$$ Ainsi, la suite $(x_{n_j})$ converge vers $\ell+x_{n_0}$. Reste maintenant à passer à la suite $(x_n)$ toute entière. On peut utiliser un résultat général qui dit qu'une suite de Cauchy ayant une valeur d'adhérence est une suite convergente. Ici, on peut donner un raisonnement un peu plus simple basé sur la construction de notre suite. Fixons $\veps>0$, et soit $j$ tel qu'on ait à la fois $2^{-j}\leq\veps$ et $\|x_{n_j}-\ell-x_{n_0}\|\leq\veps$. Alors, pour tout $n\geq n_j$, par l'inégalité triangulaire, on a $$\|x_n-\ell-x_{n_0}\|\leq \|x_n-x_{n_j}\|+\|x_{n_j}-\ell-x_{n_0}\|\leq 2\veps.$$ Ceci achève de prouver la convergence de la suite $(x_n)$.