Exercices corrigés - Ensembles dénombrables, ensembles équipotents

Les ensembles suivants sont-ils dénombrables?

$\{2^n;\ n\geq 0\}$;
$\mathbb N\times \mathbb R$;
$\mathbb Q[\sqrt 2]=\{a+b\sqrt 2;\ a,b\in\mathbb Q\}$;
l'ensemble des nombres premiers;
l'ensemble des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$.

Exercice 2 - Ensemble des fonctions de $\mathbb N$ dans $\mathbb N$. ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $(f_n)$ une suite d'applications de $\mathbb N$ dans $\mathbb N$. Soit $f:\mathbb N\to\mathbb N$ définie par : par tout $n\in\mathbb N$, $f(n)=f_n(n)+1$. Démontrer que pour tout entier $p$, on a $f_p\neq f$. En déduire que l'ensemble des applications de $\mathbb N$ dans $\mathbb N$ n'est pas dénombrable.

Exercice 3 - Certaines suites d'entiers ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Une suite d'entiers $(n_k)$ est dite

presque nulle s'il existe un entier $p\in\mathbb N$ tel que, pour tout $k\geq p$, $n_k=0$.
stationnaire s'il existe un entier $p\in\mathbb N$ tel que, pour tout $k\geq p$, $n_k=n_p$.

Démontrer que l'ensemble des suites d'entiers presque nulles et que l'ensemble des suites d'entiers stationnaires sont dénombrables.

Exercice 4 - Points de discontinuité d'une fonction monotone ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction croissante. Pour $x\in ]a,b[$, on pose $\delta(x)=\lim_{y\to x^+}f(y)-\lim_{y\to x^-}f(y)$ (c'est le "saut" de $f$ en $x$).

Pour $n\in\mathbb N^*$, démontrer que $E_n=\{x\in ]a,b[;\ \delta(x)>1/n\}$ est fini.
En déduire que l'ensemble des points de discontinuité de $f$ est au plus dénombrable.
Généraliser ce résultat au cas où $f$ est définie sur $\mathbb R$.

Exercice 5 - Nombres algébriques ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On dit qu'un réel $x$ est un nombre algébrique s'il existe $d\in\mathbb N^*$ et des entiers relatifs $a_0,\dots,a_d$ avec $a_d\neq 0$ tels que $$a_d x^d+\dots+a_1x+a_0=0.$$ Le plus petit entier $d$ vérifiant cette propriété est alors le degré de $x$.

Quels sont les nombres algébriques de degré $1$?
Démontrer que l'ensemble des nombres algébriques de degré $d$ est au plus dénombrable.
Démontrer que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable.

Exercice 6 - Ensemble des parties de $\mathbb N$. ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Démontrer que l'ensemble des parties finies de $\mathbb N$ est dénombrable.
On suppose que l'ensemble des parties de $\mathbb N$ est dénombrable et on note $f:\mathbb N\to\mathcal P(\mathbb N)$ une bijection. En considérant $A=\{n\in\mathbb N;\ n\notin f(n)\}$, trouver une contradiction.

Exercice 7 - $[0,1]$ n'est pas dénombrable ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Calculer $\sum_{n\geq 0}\frac 1{2^{n+1}}$.
Soit $(u_n)$ une suite de $[0,1]$. Montrer que, pour tout $n\geq 1$, il existe un élément $x_n$ dans $[0,1]\backslash \bigcup_{k=0}^n \left[u_k-\frac1{2^{k+2}},u_k+\frac 1{2^{k+2}}\right]$.
Pourquoi peut-on extraire de la suite $(x_n)$ une sous-suite convergente vers $\ell\in [0,1]$?
Démontrer que $[0,1]$ n'est pas dénombrable.

Exercice 8 - Intervalles disjoints ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $(I_\alpha)_{\alpha\in A}$ une famille d'intervalles ouverts non-vides deux à deux disjoints. Démontrer que $A$ est nécessairement au plus dénombrable.

Exercice 9 - Produit d'ensembles équipotents ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soient $X_1,X_2,Y_1$ et $Y_2$ des ensembles tels que $X_1$ et $Y_1$ sont équipotents et tels que $X_2$ et $Y_2$ sont équipotents. Démontrer que $X_1\times X_2$ est équipotent à $Y_1\times Y_2$.

Exercice 10 - Intervalles ouverts et intervalles fermés ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Démontrer que $]0,1[$ et $]0,1]$ sont équipotents (on pourra utiliser une bijection de $]0,1]$ dans $]0,1[$ qui à $1/n$ associe $1/(n+1)$.)
Démontrer que $]0,1[$ et $[0,1]$ sont équipotents.

Exercice 11 - Ensemble et ensemble de ces parties ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $X$ un ensemble. Démontrer que $X$ et $\mathcal P(X)$ ne sont pas équipotents.

Exercice 12 - Infini union un dénombrable ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Pour cet exercice, on rappelle que tout ensemble infini contient un ensemble infini dénombrable. Soit $X$ un ensemble infini et $D$ un ensemble au plus dénombrable. Démontrer que $X\cup D$ est équipotent à $X$.