Connaissez-vous le principe des tiroirs ? Si dans votre commode possède 4 tiroirs, et que vous avez
5 paires de chaussettes, il y aura au moins un tiroir contenant 2 paires de chaussettes. Ce raisonnement simple
devrait vous être très utile pour les énigmes suivantes.
Il y a fort longtemps, à Paris, un forain proposait aux badauds le pari suivant : il s'engageait à trouver en moins d'une minute deux sous ensembles disjoints (mais pas nécessairement exhaustifs) de nombres parmi 10 dont la somme des termes de chacun des sous ensemble était de même valeur. Les 10 nombres, tous distincts, étaient choisis par le badaud parmi les 100 nombres entiers compris entre 1 et 100. Le badaud pouvait miser jusqu'à 100 euros. Si le forain échouait, il versait au joueur 10 fois sa mise.
Le forain cessa le jour où Nerosson écouta le camelot, réfléchit quelques minutes, puis lui proposa d'inverser le jeu : à lui de relever le défi, au camelot de choisir les numéros et de miser. Sauriez-vous dire pourquoi ?
Un exemple :
le badaud choisit les nombres : {4, 12, 25, 32, 49, 51, 69, 70, 85, 99}
le forain trouve : {12,49} et {4,25,32} car $49+12= 32+25+4$
Enigme postée par Freddy sur le forum
Le raisonnement est un classique du genre :
Il y a $2^{10}−1=1023$ sous-ensembles non vides possibles.
Si on prend un sous-ensemble non-vide de 10 nombres compris entre 1 et 100, la somme de ces nombres est comprise entre 1 et 1000.
La somme des 10 nombres est comprise entre 1 et $10\times 100=1000$. Il y a donc 1000 sommes possibles.
Or, 1024>1000, donc, d'après le principe des tiroirs, il y a obligatoirement deux sous-ensembles dont la somme des éléments est identique. Ils ne sont pas nécessairement disjoints, mais ce n'est pas grave, car il suffit d'enlever les éléments communs aux deux ensembles pour résoudre le problème.
Solution par Thadrien…
La chevelure des parisiennes
Le nombre de cheveux d'une femme ne dépasse jamais 400 000. Parmi les 1 500 000 parisiennes, est-on sûr qu'il y en a qui aient le même nombre de cheveux. Si oui, combien???
C'est une application du très sérieux principe des tiroirs. Voilà comment procéder. On prend les 400 000 premières femmes. Au pire, elles ont toutes un nombre différent de cheveux, on les range donc dans "un tiroir" étiqueté par leur nombre de cheveux. Prenons maintenant la 400 001ème. Come tous les tiroirs sont déjà occupés, elles seront deux au moins à posséder le même nombre de cheveux. Au pire encore, toutes les femmes entre 400 001 et 800 000 ont un nombre différent de cheveux, et elles seront deux dans chaque tiroir. Toujours en raisonnant ainsi, pour classer jusque 1 200 000, on en met trois dans chaque tiroir, puis jusque 1 500 000, 4 dans 300 000 tiroirs, et 3 dans les 100 000 autres. Il y a donc au moins 4 femmes à Paris qui ont le même nombre de cheveux!
