Grilles à compléter

Chaque ligne doit totaliser $1+2+3+4+5+6=21$. La somme totale des chiffres inscrits dans la grille est donc $6\times 21$. Il y a 9 zones, et donc chaque zone doit totaliser $6\times 21/9=14$.

On peut alors raisonner en commençant par en bas à gauche. On doit avoir dans le bloc vertical de 3 cases 3 chiffres différents, compris entre 1 et 6, et dont la somme fait 14. Ce ne peut être que 3, 5 et 6. Les cases au-dessus portent donc les chiffres 1,2 et 4. Considérons le bloc de 3 cases en triangle juste au-dessus du précédent. Il ne peut comporter un 1 ou un 2, sinon la somme ne pourrait faire 14. Il doit donc comporter un 4. En raisonnant ainsi, on peut terminer de remplir le tableau. On obtient un résultat unique, qui est le suivant :

Voici une solution possible :

La recherche de cette solution est grandement facilitée si on commence par déterminer le total sur chaque ligne. Notons le $S$. Il y a $6$ lignes, et on voit que tous les nombres de $1$ à $12$ vont intervenir sur deux lignes uniquement. On a donc $$6S=2\times(1+2+\dots+12)=2\times \frac{13\times 12}{2}.$$ On trouve $$S=26.$$ On place alors facilement le $11$. On peut alors compléter le reste.

On remarque d'abord que la division est obtenue en 3 étapes seulement, alors que le quotient comporte 5 chiffres. C'est donc que deux de ces 5 chiffres sont nuls, et la disposition de la division montre que ce ne peuvent être que le 2ème et le 4ème chiffre. De plus, le troisième chiffre du quotient est 8, et 8 fois le diviseur donne un nombre à deux chiffres. Le diviseur ne peut donc être que 10, 11 ou 12. Mais le premier chiffre du quotient multiplié par le diviseur donne un nombre à 3 chiffres, et de même pour le dernier chiffre du quotient multiplié par un nombre à 3 chiffres.. Avec ce que l'on avait déjà déduit, on ne peut avoir que le premier chiffre du quotient égal à 9, et le diviseur égal à 12.

Résumons ce que nous avons obtenu : le diviseur est 12, le quotien est 90809, le dividende est 108****, et le reste est 1. On retrouve alors le dividende par la formule $90809\times 12+1=1089709$. Ouf!

Commençons par examiner la dernière colonne. Le produit ne peut pas dépasser 9. Les produits possibles sont donc 1 par un autre chiffre, $2\times 3$, $2\times 4$, $4\times 2$, $3\times 2$, $3\times 3$. Les produits par 1 sont impossibles car chaque chiffre ne peut apparaitre qu'une fois, de même, on ne peut pas avoir $3\times 3$. Étudions alors les 4 derniers cas possibles de répartition des chiffres dans la première colonne :

On va procéder étape par étape. On cherche d'abord les chiffres des unités manquants. On trouve facilement en remontant qu'ils sont égaux à 4, puis à 8 (le seul multiple de 3 donnant un chiffre des unités égal à 4 est $3\times 8$). Le 3 de la colonne des dizaines nous donne ensuite le chiffre des dizaines du deuxième nombre (c'est 1), puis les chiffres des dizaines et des centaines du premier nombre. On est arrivé alors à : $$ \begin{array}{cccccc} &&\cdot&2&1&3\\ \times&&&\cdot&1&8\\ \hline &&\cdot&\cdot&\cdot&4\\ &\cdot&2&1&3&\\ \cdot&\cdot&\cdot&9&&\\ \hline \cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&4 \end{array}$$ On complète alors sans problèmes les colonnes des dizaines et des centaines : $$ \begin{array}{cccccc} &&\cdot&2&1&3\\ \times&&&\cdot&1&8\\ \hline &&\cdot&7&0&4\\ &\cdot&2&1&3&\\ \cdot&\cdot&\cdot&9&&\\ \hline \cdot&\cdot&\cdot&7&3&4 \end{array}$$ Comme la multiplication par 8 du premier nombre ne donne qu'un nombre à 4 chiffres, c'est que le premier nombre commence par 1. Enfin, le dernier 9 non encore utilisé donne que le deuxième chiffre commence par 3. Il s'agit alors simplement de terminer le travail, et on trouve : $$ \begin{array}{cccccc} &&1&2&1&3\\ \times&&&3&1&8\\ \hline &&9&7&0&4\\ &1&2&1&3&\\ 3&6&3&9&&\\ \hline 3&8&5&7&3&4 \end{array}$$