Énigmes de dénombrement

Voici la solution proposée par amatheur sur le forum. Bastien a interrogé 99 personnes. Lui-même et ces 99 personnes n'ont pu serrer la main que de 98 personnes au maximum. Comme il y avait 99 réponses différentes, alors le nombre des mains serrées par chacune des personnes interrogées prenait toutes les valeurs de 0 à 98 (du plus froid au plus chaleureux) sans répétition.

Considérons la personne la plus chaleureuse (qui a serré la main de 98 personnes) puisqu'elle ne peut serrer ni sa main ni celle de son conjoint ni la main de la personne la plus froide, alors son conjoint est nécessairement la personne la plus froide (sinon il n'aurait serré la main que de 97 personnes).

Prenons maintenant le cas de la personne qui a serré la main de 97 personnes, comme elle ne peut serrer ni sa main, ni celle de son conjoint ni de la plus froide ni de la personne qui a serré la main à une seule personne ( puisque celle-ci a déjà serré la main de la personne la plus chaleureuse), donc le conjoint de la personne qui a serré la main de 97 personnes est nécessairement celle qui n'a serré la main que d'une seule personne.

On peut continuer le raisonnement ainsi. La personne qui a serré la main de 96 personnes est le conjoint de la personne qui a serré la main de 2 personnes, etc ... Finalement, la personne qui a serré la main de 50 personnes est forcément le conjoint de la personne qui a serré la main de 48 personnes. Ce faisant, il reste la personne qui a serré la main de 49 personnes. C'est forcément la mariée et son conjoint Bastien a lui même serré la main de 49 personnes

Notons $V$ le nombre de poissons verts, $B$ le nombre de poissons bleus, et $A$ le nombre de poissons d'une autre couleur. Nous savons que $$V+A=9.$$ En effet, en pêchant $11$ poissons, il y a forcément $2$ poissons verts, et donc $V+A\leq 9,$ et si je pêche $10$ poissons, je ne suis pas sûr d'avoir $2$ verts donc $V+A\geq 9.$ De la même façon, on a $$B+A=16.$$ Enfin, la dernière information nous dit qu'il n'y a pas plus de $12$ poissons d'une même couleur, et qu'il y a une couleur pour laquelle il y a exactement $12$ poissons. D'après les équations précédents, on sait que $V\leq 9$ et que $A\leq 9,$ donc on doit avoir $B=12.$ On en déduit $A=4$ et $V=5$ et donc il y a $12+4+5=21$ poissons dans l'aquarium. Bonne pêche !

Notons $n=2p$ le nombre de participants à la soirée, $p$ étant donc le nombre de couples. Il y a $\frac{n(n-1)}2$ paires de deux personnes, et donc "virtuellement" $\frac{n(n-1)}2$ poignées de main échangées. Mais on peut supposer que les deux membres d'un couple ne se serrent pas la main en partant, et donc le nombre de poignées de main échangées est : $$\frac{n(n-1)}2-p=\frac{n(n-1)}2-\frac n2.$$ Ainsi, $n$ est solution de l'équation $$\frac{n(n-1)}2-\frac n2=112\iff n^2-2n=224.$$ Les solutions de cette équation sont $n=16$ et $n=-14$. La seule solution acceptable est $n=16$. Il y avait donc 16 personnes à cette soirée.