Exercice d'équation différentielle

Fred · 30-12-2012 21:59:51

Yes!

vrouvrou · 30-12-2012 22:01:16

si y est une fonction continue définie sur un borné [0,A] alors y est bornée et atteint ces bornes donc il existe c , d de [0,A] telles que y(c)<y(t)<y(d)

vrouvrou · 31-12-2012 20:52:39

Merci Fred bonne fête bonne année et meilleure vœux de santé et de prospérité
je reviendrai demain pour d'autre questions lol
merci encor

vrouvrou · 19-01-2013 22:17:27

Re:
s'il vous plait dans le poste 13, j'ai relue et je ne comprend pas pourquoi on peut dire que :
" g étant de classe [tex]C^1[/tex], on peut trouver un intervalle
de la forme [tex][0,δ][/tex] sur lequel [tex]g(x)≤−βx[/tex] si [tex]x∈[0,δ][/tex] (c'est-à-justifier en utilisant ton hypothèse sur [tex]g'(0)[/tex] )"
g est de classe C^1, mais comment déduire l’existence de l’intervalle ?
Merci.

Dernière modification par vrouvrou (20-01-2013 18:48:18)

Fred · 19-01-2013 22:49:02

Car [tex]g'(x)\leq -\beta[/tex] sur un intervalle du type [tex] [0,\delta] [/tex]

vrouvrou · 20-01-2013 20:13:46

On a: soit [tex]0<\beta<\alpha[/tex] , [tex]g'(0)=-\alpha[/tex] et [tex]x'=g(x)[/tex]
[tex]\beta< \alpha[/tex] alors [tex]-\alpha<-\beta[/tex] ,donc [tex]g'(0)=-\alpha <-\beta[/tex] ce qui veut dire que [tex]g(x) <-\beta x[/tex] sur un voisinage de 0
c'est ça ?
sil vous plait ,
merci.

Fred · 20-01-2013 20:39:57

vrouvrou a écrit :

[tex]g'(0)=-\alpha <-\beta[/tex] ce qui veut dire que [tex]g(x) <-\beta x[/tex] sur un voisinage de 0

Ce passage mérite tout de même une explication supplémentaire
(indice : utiliser une inégalité célèbre liant une fonction et sa dérivée!).

vrouvrou · 20-01-2013 20:51:36

théorème des accroissements finie ?

vrouvrou · 20-01-2013 21:03:00

Fred · 21-01-2013 06:46:25

Oui.

vrouvrou · 21-01-2013 18:29:39

Donc[tex] |g'(0)|\leq \beta[/tex] donc pour tous [tex]y=0\in [0,b] |g(x)-g(0)|\leq \beta |0-x|[/tex] pour tout[tex] 0,x \in [0.b][/tex]
et[tex] g(0) =0[/tex] et donc [tex]|g(x)|\leq \beta x[/tex] pour tout [tex]x\in [0,b][/tex].
on peut dire [tex]g(x)\leq \beta x[/tex] pour tout [tex]x\in[0,b][/tex].
c'est ça ?

Fred · 21-01-2013 21:07:25

Cela ne ressemble plus à ce que tu voulais démontrer.
Utilise plutôt les versions de l'inégalité des accroissements finis sans les valeurs absolues.

vrouvrou · 21-01-2013 21:33:09

ça par exemple ?
Soit [tex]f[/tex] continue sur l'intervalle, non réduit à un point, [tex][a; b][/tex] et dérivable sur[tex] ]a; b[[/tex], telle qu'il
existe [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex] tels que pour tout [tex]t[/tex] élément de [tex]]a; b[[/tex] : [tex]\alpha \leq f'(t)\leq \beta[/tex] . Alors :[tex]\alpha (b - a) \leq f(b) - f(a) \leq \beta(b - a)[/tex]
merci.

Fred · 21-01-2013 21:49:26

Oui, cette version là est plus appropriée.

vrouvrou · 22-01-2013 22:48:14

Salut,
je peut considérer un seul coté de l'inégalité ? par exemple [tex]f'(x)\leq \beta[/tex] alors [tex]f(b)-f(a)\leq \beta(b-a)[/tex]
s'il vous plait
merci.

Fred · 23-01-2013 10:37:45

Oui, bien sûr.

vrouvrou · 23-01-2013 17:15:05

mais cette version ne me donne pas ce que je cherche !

Fred · 23-01-2013 18:23:33

Ben si!!!!!

[tex]g'(x)\leq -\beta[/tex] sur [tex] [0,\delta] [/tex] implique que
[tex]g(x)\leq g(0)-\beta x[/tex] sur [tex] [0,\delta] [/tex] !!!!

Je ne vois vraiment pas ce qui pouvait te bloquer!!!!

vrouvrou · 23-01-2013 18:45:58

et d'ou viens le x?
s'il vous plait
merci.

Fred · 23-01-2013 21:28:50

Quel x???

Comme disais un de mes profs, les lettres sont muettes, elles ne vont pas protester si on change leur nom.

vrouvrou · 23-01-2013 22:08:35

d’après la formule on a que si [tex]g'(x)\leq -\beta[/tex] sur [tex][0,\delta] \Rightarrow g(\delta)-g(0) \leq -\beta (\delta -0)[/tex]
on plus on a que [tex]g'(0)\leq -\beta[/tex] .
alors comment je fait s'il vous plait
merci

Fred · 24-01-2013 09:28:35

Non, tu as [tex]g'(0)=-\alpha<-\beta[/tex] et en plus [tex]g'[/tex] est continue...

vrouvrou · 24-01-2013 09:56:20

oui , [tex]g'(0)=-\alpha <-\beta[/tex] , g continue cela veut dire que [tex]g'(x)<-\beta[/tex] sur un voisinage de 0 ?

Dernière modification par vrouvrou (24-01-2013 14:17:45)

Fred · 24-01-2013 12:46:11

Cela veut dire pas tout à fait... Cela implique que plutôt!

vrouvrou · 24-01-2013 14:59:45

Ok,donc j'ai [tex]g'(0)=-\alpha <-\beta \Rightarrow g'(x)<-\beta , x\in [0,\delta][/tex] si j'applique ça :
Soit [tex]f[/tex] continue sur l'intervalle, non réduit à un point, [tex][a; b][/tex] et dérivable sur[tex] ]a; b[[/tex], telle qu'il
existe [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex] tels que pour tout [tex]t[/tex] élément de [tex]]a; b[[/tex] : [tex]\alpha \leq f'(t)\leq \beta[/tex] . Alors :[tex]\alpha (b - a) \leq f(b) - f(a) \leq \beta(b - a)[/tex]
j'aurai[tex] g'(x)<-\beta[/tex] alors [tex]g(\delta)-g(0)<-\beta \delta[/tex] !

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