Factorisation [Résolu]

sassin · 26-08-2010 13:17:42

Ensuite,

[tex]{x}^{2}+3x\,+2[/tex]

discriminant: 1

x1 : -2
x2: -1

Donc la forme factorisée de l'équation est : (x+2) (x+1) = 0

adamin · 26-08-2010 13:18:38

Bonjour mes amies .
oui sassin cette simplification c vrai

sassin · 26-08-2010 13:32:05

ok merci adamin,

Je viens juste de me rendre compte que pour [tex]{\left(x-1\right)}^{2}-16[/tex], j'aurai pu faire ça :

[tex]{\left(x-1\right)}^{2}-16[/tex]
[tex]={\left(x-1\right)}^{2}-{4}^{2}[/tex]
[tex]=\left[\left(x-1\right)+4\right]\,\left[\left(x-1\right)-4\right][/tex]
[tex]=\left(x+3\right)\left(x-5\right)[/tex]

sassin · 26-08-2010 13:37:51

Ensuite,

[tex]7{x}^{2}+\,21\,x\,+14[/tex]
[tex]={x}^{2}+3x\,+2[/tex]

discriminant: 1

x1 : -2
x2: -1

Donc la forme factorisée de l'équation est : (x+2) (x+1) = 0

sassin · 26-08-2010 13:58:58

Ensuite,

6) Le produit de deux nombres est 840 et leur somme est 59. Trouver ces deux nombres. [Astuce classique à connaître absolument !]

Je ne vois pas du tout quel est l'astuce, si quelqu'un peut m'éclaircir.

Merci d'avance.

yoshi · 26-08-2010 15:26:37

Salut,

1. Pourquoi faire sauter le 7 ?
[tex]7x^2+21x+14=7(x^2+3x+2)=7(x+1)(x+2)[/tex]
D'autre part il y avait une "solution évidente (-1)^2+3(-1)+2 = 0 qui te donnait le 1er facteur (x+1)

2. Astuce à connaitre absolument
C'est un résultat du cours
Soit [tex]S=x_1+x_2\text { et }P=x_1x_2[/tex]
[tex]x_1\text{ et }x_2[/tex] sont solutions de l'équation : [tex]x^2-Sx+P=0[/tex]

Preuve :
[tex]\begin{cases}x_1+x_2 &= S \\ x_1x_2 &= P\end{cases}[/tex]
Soit : [tex]x_1= S -x_2[/tex]
Il vient :
[tex]x_2(S-x_2)=P\; \Leftrightarrow \;Sx_2-x_2^2=P\; \Leftrightarrow\; x_2^2-Sx_2+P=0[/tex]
Et tu vois bien que c'est vrai aussi en remplaçant [tex]x_2 \text{ par } x_1[/tex].
D'où l'énoncé de la propriété...

3. Au passage, autre propriété (liée) :
soit le polynôme du 2nd degré en x : [tex]ax^2+bx+c[/tex]
La somme et le produit des solutions de (lorsqu'elles existent) de l'équation : [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] sont :
[tex]S=-\frac{b}{a}\text{ et }P=\frac{c}{a}[/tex]

@+

thadrien · 26-08-2010 16:35:39

sassin a écrit :

ok merci adamin,
Je viens juste de me rendre compte que pour [tex]{\left(x-1\right)}^{2}-16[/tex], j'aurai pu faire ça :
[tex]{\left(x-1\right)}^{2}-16[/tex]
[tex]={\left(x-1\right)}^{2}-{4}^{2}[/tex]
[tex]=\left[\left(x-1\right)+4\right]\,\left[\left(x-1\right)-4\right][/tex]
[tex]=\left(x+3\right)\left(x-5\right)[/tex]

Impeccable ! :-)

sassin · 26-08-2010 19:20:26

Merci yoshi mais franchement comme ça je ne comprend pas trop. Pour le 1) c'est bon, le 3) également mais pas pour le 2). Je pense qu'avec un petit exemple je comprendrai mieux.

Merci d'avance.

yoshi · 26-08-2010 19:49:54

Re,

Il y a la formule sèche x²+Sx+P=0 et sa justification. Je t'ai donné les deux.
Je vais reprendre les deux sur l'exemple de thadrien.

thadrien a écrit :

Le produit de deux nombres est 840 et leur somme est 59

1. Formule sèche
On a donc, S = 59 et = 840.
Les 2 nombres sont donc solutions de l'équation x²-59x+840=0
[tex]\Delta=59^2-4\times 840 = 3481 - 3360 = 121 = 11^2[/tex]

Solutions : [tex]x',x" = \frac{59\pm 11}{2}[/tex], soit x' = 24 et x" = 35
Vérification : S = 24+35 = 59 et P = 24 * 35 = 840
2. Résolution" bête et méchante" d'un système de 2 équations à 2 inconnues par la méthode de substitution.
Je vais appeler x et y les 2 nombres.
On a donc :
[tex]\begin{cases}x + y &= \;59\;\; (1)\\ xy &= 840\; (2)\end{cases}[/tex]
De l'équation (1), je tire l'expression de y en fonction de x :
[tex]y = 59 - x[/tex]
Expression que je reporte en lieu et place de y dans l'équation (2) :
[tex]x(59 - x) = 840 [/tex]
Donc
[tex]59x - x^2 = 840 \;\Leftrightarrow\;59x-x^2-840=0 \;\Leftrightarrow\;x^2-59x+840=0[/tex]
Et nous voilà de retour au point 1.

Donc maintenant à toi, avec : Trouver deux nombres dont la somme est 93 et le produit 2072.

@+

sassin · 26-08-2010 20:42:34

ok merci yoshi, j'ai compris maintenant.

Trouver deux nombres dont la somme est 93 et le produit 2072:

Les 2 nombres sont 56 et 37.

J'aurai cependant une question, est ce que cette astuce me servira l'année prochaine (en terminale) ? Ou bien, pour quel type d'exercice cette astuce pourra t elle me servir ?

yoshi · 26-08-2010 21:13:37

Re,

Ok ! c'est bon...

Question piège...
Ça fait partie de la panoplie des techniques à posséder parce qu'elles peuvent servir et qu'on est susceptible (avec le complément que j'ai apporté) de les rencontrer au détour d'un exercice...
Tu peux la rencontrer une douzaine de fois, comme tu peux la rencontrer une fois,... ou pas du tout.

Mais tu connais la loi de "l'emm..ment maximum" : il suffit que tu aies négligé quelque chose pour que tu augmentes tes "chances" de te faire attraper...

Cela dit, les limites, les dérivées (et les formes indéterminées 0/0, oo/oo, 0 ^oo, 0 x oo...), les discriminants, les factorisations, les vecteurs, la trigo... ça tu peux être sûr que tu vas en bouffer !

@+

sassin · 26-08-2010 21:15:39

ok merci.

sassin · 27-08-2010 18:23:09

Bonjour,

thadrien a écrit :

7) Quel est le produit P des racines du polynôme x^2-6x+15. [Même astuce, dans l'autre sens.]
8) Quel est la somme des racines du polynôme x^2-654654654x+69846544. [Idem.]
9) x^3+6x^2+11x+6 [Racine évidente : 1]
10) x^4+7x^3+17x^2+17x+6 [Racines évidente : 1 et 1]

Pour la 7 et 8, je ne vois pas du tout comment faire avec la même astuce dans l'autre sens.

Thadrien, pour les racines évidentes tu as oublié les - devant les 1 mais bon c'est pas grave.

9) [tex]{x}^{3}+6{x}^{2}+11x+\,6[/tex]

[tex]\left(x+1\right)\,\left(a{x}^{2}+bx\,+c\right)[/tex]
[tex]=a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx\,+a{x}^{2}+bx\,+c[/tex]
[tex]=a{x}^{3}+\,\left(a+b\right){x}^{2}+\left(b+c\right)x\,+c[/tex]

a=1 ; b=5 ; c=6

Donc la forme factorisée est [tex]\left(x+1\right)\,\left({x}^{2}+5x\,+6\right)[/tex]

10) x^4+7x^3+17x^2+17x+6

[tex]\left(x+1\right)\,\left(a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx\,+d\right)[/tex]
[tex]=a{x}^{4}+b{x}^{3}+c{x}^{2}+dx\,+a{x}^{3}+b{x}^{2}+\,cx\,+d[/tex]
[tex]=a{x}^{4\,}+\left(a+b\right){x}^{3}+\left(b+c\right){x}^{2}+\left(c+d\right)x\,+d[/tex]

a= 1 ; b= 6 ; c=11 ; d=6

[tex]\left(x+1\right)\,\left({x}^{3}+6{x}^{2}+11x\,+6\right)[/tex]

[tex]{x}^{3}+6{x}^{2}+11x\,+6[/tex]

[tex]\left(x+1\right)\,\left(a{x}^{2\,}+bx\,+c\right)[/tex]
[tex]=a{x}^{3}+\,b{x}^{2}+\,cx\,+\,a{x}^{2}+\,bx\,+\,c[/tex]
[tex]=a{x}^{3}+\,\left(a+b\right){x}^{2}\,+\left(b+c\right)x\,+c[/tex]

a=1 ; b=5 ; c=6

[tex]{\left(x+1\right)}\left({x}^{2}+5x\,+6\right)[/tex]

Donc la forme factorisée est [tex]{\left(x+1\right)}^{2}\left({x}^{2}+5x\,+6\right)[/tex]

Merci d'avance.

thadrien · 27-08-2010 18:37:57

Salut,

La 7 et la 8 sont toutes les deux de la forme x^2-Sx+P. Si les racines existent, leur somme est S et leur produit P. Dans les deux cas, je te garantis l'existence des racines, il ne te reste plus qu'à conclure sur leur somme et leur produit.

Le reste, c'est impeccable. Et tu as raison, j'ai oublié les - devant les 1.

yoshi · 27-08-2010 18:57:56

Re,

sassin a écrit :

Pour la 7 et 8, je ne vois pas du tout comment faire avec la même astuce dans l'autre sens.

A ma connaissance, je ne connais qu'une seule façon de faire sans calculer les racines et je te l'ai expliqué...
Oublié ?
Alors, je te le répète :

Dans son post #56, yoshi a écrit :

3. Au passage, autre propriété (liée) :
soit le polynôme du 2nd degré en x : [tex]ax^2+bx+c[/tex]
La somme et le produit des solutions de (lorsqu'elles existent) de l'équation : [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] sont :
[tex]S=-\frac{b}{a}\text{ et }P=\frac{c}{a}[/tex]

Ca y est ? La mémoire revient ?

@+

sassin · 27-08-2010 19:32:12

ok,

Non, t'inquiète pas Yoshi, je n'ai pas oublié mais ça me paraît bizarre.

7)
[tex]P\,=\,\frac{c}{a}=\,\frac{15}{1}=15[/tex]

8)
[tex]S=-\frac{b}{a}=\,\frac{654654654}{1}=654654654[/tex]

yoshi · 27-08-2010 20:01:27

Re,

N'aurais-tu mélangé 2 exercices :
[tex]7.\;x^2-6x+15[/tex]
[tex]8.\;x^2-654654654x+69846544=0[/tex]

Exercice 8 les solutions existent bel et bien
Pour le 7. Pt'êt que tadrien s'est mélangé les crayons ou p'têt pas...
Tu verras cette année que tu vas utiliser une nombre i (comme imaginaire) tel que [tex]i^2=-1[/tex]
Il permet de fabriquer de nouveaux nombres qui seront appelés "nombre complexes" et qui appartiendront à un nouvel ensemble de nombres nommé [tex]\mathbb{C}[/tex] et qui englobe tous les autres.
Tout ça pour dire que l'équation que t'a donnée thadrien ne possède pas, dans l'état actuel de tes connaissances, de solutions.
[tex]x^2-6x+15=0[/tex]
En effet :
[tex]\Delta=(-6)^2-4\times 15=36-60=-24\,<0[/tex]
Jusqu'à présent tu t'arrêtais là...
Cette année, tu vas continuer ainsi :
[tex]\Delta=-24=24i^2=(2i\sqrt 6)^2[/tex]...
Si ça te perturbe, remplace donc par [tex]x^2+6x-15=0[/tex]

@+

thadrien · 28-08-2010 10:15:04

Salut,

Effectivement, j'ai oublié de vérifier le delta de mes polynômes. Mais vu que tous les polynômes de degré n admettent n racines dans C, comptées avec leur ordre de multiplicité, il n'y a aucun problème à calculer leur somme et leur produit.

Petit résumé de tout ce que tu devras savoir tôt ou tard sur les complexes :

1) Il existe un ensemble de nombres C, appelé ensemble des nombres complexes, tel que :
1.1) C contienne R.
1.2) Les opérations usuelles sur C ont exactement les mêmes propriétés que sur R : associativité, commutativité, distributivité, etc...
1.3) Il existe un nombre de C noté i tel que i^2 = -1.
1.4) Tout nombre de C peut se noter a+bi avec a et b deux réels.
2) (a+bi)+(c+di) = ((a+c)+(b+d)i)
3) (a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i
4) Le module d'un nombre complexe a+bi, noté |a+bi|, vaut a^2+b^2. Il est identique à la valeur absolue pour les nombres réels. C'est pourquoi ils sont notés pareils.
5) Le conjugué d'un nombre complexe a+bi, est noté [Yoshi : tu peux me le mettre en Latex s'il te plait ?] a+bi avec une barre au dessus, et vaut a-bi.
6) z conjugué(z) = |z|^2.
7) Corollaire : 1/z = conjugué(z)/(z^2).

Et, le point important : il n'existe et ne peut exister aucune relation d'ordre sur C tel que C muni de cette relation d'ordre soit un corps ordonné. En clair, dire qu'un complexe est inférieur à un autre est une absurdité.

Voilà, tu sais tout ce qu'il y a a savoir sur le sujet. C'est beaucoup d'un coup, mais une fois que tu sauras tout ça, tu seras définitivement tranquille sur le sujet.

sassin · 28-08-2010 13:21:16

Bonjour, si c'est au programme de l'année prochaine, je pense que je vais laissé ça de coté pour l'instant car je dois réviser le programme de première. Mais c'est gentil quand même de m'avoir donnée un petit résumé sur le sujet.

Par contre, yoshi je suis complétement perdu. Tu me dis que pour trouver la somme et le produit des solutions, on peut utiliser:

[tex]P\,=\,\frac{c}{a}[/tex]

[tex]S=-\frac{b}{a}[/tex]

Je ne comprend donc pas pourquoi c'est faux dans mon précèdent post. Aurai je oublié une étape?

Merci d'avance.

Dernière modification par sassin (28-08-2010 13:22:45)

thadrien · 28-08-2010 14:12:04

C'est exactement la bonne réponse !

yoshi · 28-08-2010 14:25:09

Re,

Ok, c'est de ma faute, je n'avais pas vu que tu avais donné le produit des racines pour l'exo 7 et la somme pour l'exo 8 et que thadrien ne t'avait pas demandé somme et produit pour les 2...

Moi, j'ai cru voir que tu proposais somme et Produit pour des racines pour l'exo 7 (exocet ? Touché ! Coulé !)...
Donc, je n'ai rien dit...
Mais tu devrais maintenant penser à passer à autre chose...

@+

sassin · 28-08-2010 14:34:18

ok et merci à tous pour votre aide.

A bientôt.

Dernière modification par sassin (28-08-2010 14:35:51)

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#51 26-08-2010 13:17:42

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