Problème : étude d'une fonction f [Résolu]

Le-new-max · 12-04-2010 12:35:07

Re,

Comment justifier le signe de la dérivée sur [1 ; 6]...c'est un peu rapide pour moi.

Merci, a+

yoshi · 12-04-2010 12:48:45

Salut jeune-homme,

Tu as écrit :

Comment justifier le signe de la dérivée sur [1 ; 6]...c'est un peu rapide pour moi.

C'est une blague ?
Hélas je crains que non...

Cet excellent freddy a écrit :

[tex]\frac{x}{2} + \frac2x = \frac12\times \frac{x^2+4}{x}[/tex]

Puisque ça ne suffit pas, je vais faire un effort, mais là, vraiment tu te noies dans un verre d'eau ou tu aimes te faire peur !?

Bon...
Quel est le signe de : [tex]\frac{x^2+4}{x}[/tex] ?
C'est le signe d'un quotient, donc le même que celui du produit : [tex]x(x^2+4)[/tex].
Pour connaître le signe d'un produit, tu n'es pas sans savoir, depuis la 2nde, qu'il te faut connaître le signe des différents facteurs qui le composent...
A savoir, ici : [tex]x\text{ et }x^2+4[/tex].
Grave question : quel peut bien être le signe de x si [tex]x\;\in\;[1\;;\;6][/tex] ?
Pas plus difficile : quel peut bien être le signe de x², donc de x²+4 si [tex]x\;\in\;[1\;;\;6][/tex] ?

Tu ne vas quand même pas dire que tu ne pouvais pas trouver ça tout seul ? Si ?

@+

Le-new-max · 12-04-2010 13:08:44

Re,

En effet, vu comme ça, c'est très simple... j'aurais surement du plus réfléchir avant de vous demander.
Merci.

PS : pour f(1) je trouve 3,05 et pour f(6) je trouve 15,38. ?

Dernière modification par Le-new-max (12-04-2010 13:21:28)

yoshi · 12-04-2010 13:16:22

Re,

Tu donnes l'impression d'être tellement désabusé sur tes capacités mathématiques que tu abordes les exos (au moins sur les fonctions) avec cet a priori en tête : << Ca doit être difficile, je ne vais sûrement pas y arriver... >>.
Si c'est bien ça, tu vois bien que ce n'est pas le cas !
Mon père me disait en pareil cas << Quand on veut, on peut ! >>, bon, c'est à prendre avec des pincettes, mais lui ne s'attardait pas sur "si peu"...

@+

Le-new-max · 12-04-2010 13:32:41

Re,

Possible....

Pour les questions :
2 a) Compléter le tableau suivant :
Le tableau va de 1 à 6 avec un intervalle de 0,5.
==> Ca je pense pouvoir le faire seul :)
2 b) Tracer dans un repère la représentation graphique de la fonction.
==> Je pense également pouvoir le faire seul.

B : Etude la fonction coût moyen :
Pour une production journalière de x mètres cubes, le coût moyen de production en milliers d'euros de [tex]1m^3[/tex] est :
[tex]Cm(x) = \frac{Ct(x)}{x}.[/tex]

1. Montrer que [tex]Cm(x) = \frac{x^2+11,2+8lnx}{4x}.[/tex]
==> Je multplie en haut et en bas par 4 et je retrouve normalement ma fonction ?

Merci.

yoshi · 12-04-2010 13:49:46

Re,

Je multplie en haut et en bas par 4 et je retrouve normalement ma fonction ?

Je ne comprends pas ce que tu veux dire par là...Tu parles des 2e et 3e termes ?
En tous cas
[tex]Ct (x) = \frac{x^2}{4} + 2,8 + 2\ln x[/tex]
Moi je dirais que je mets tout sur le dénominateur 4 :
[tex]Ct (x) = \frac{x^2}{4} + \frac{11,2}{4} + \frac{8\ln x}{4}=\frac{x^2+11,2+8\ln x}{4}[/tex]
Puis je cherche
[tex]C_m(x)=\frac{C_t(x)}{x}=\frac{\dfrac{x^2+11,2+8\ln x}{4}}{x}=\frac{x^2+11,2+8\ln x}{4}\times \frac{1}{x}=\frac{x^2+11,2+8\ln x}{4x}[/tex]
Si c'est ça que tu voulais dire, alors ok !

@+

Le-new-max · 12-04-2010 13:56:21

Re,

Oui c'est ça, en mieux epliquer... Merci

a+

Le-new-max · 12-04-2010 14:30:52

Re,

2. a) Démontrer que pour tout x de [1 ; 6], [tex]Cm'(x) = \frac{f(x)}{4x²}[/tex](f étant la fonction définie dans la partie I) ==> soit x²-3,2-8lnx.

==> Je ne trouve pas le bon résultat, mais [tex]Cm'(x) = \frac{4f(x)}{4x²}[/tex]... ?

a+

yoshi · 12-04-2010 15:02:34

'lut,

Y a un os dans le potage, mais ne ne sais pas où..
Je refais.
1. Je pars du principe que tu sais que si [tex]g=\lambda f\text{ alors }g'=\lambda f'[/tex] d'ac ?
2. Donc je vais dériver [tex]\frac{x^2+11,2+8\ln x}{x}[/tex] :
Je pose [tex]\begin{cases}U=x^2+11,2+8\ln x \text{ donc }U'=2x+\dfrac{8}{x}\\V=x \text{ donc }V' = 1\end{cases}[/tex]
Et je calcule :
[tex]\frac{U'V-V'U}{V^2}=\frac{\left(2x+\dfrac{8}{x}\right)x-1(x^2+11,2+8\ln x)}{x^2}=\frac{2x^2+8 -x^2-11,2-8\ln x}{x^2}=\frac{x^2-3,2-8\ln x}{x^2}[/tex]
3. D'où [tex]C_m'(x)={1 \over 4}\times \frac{x^2-3,2-8\ln x}{x^2}={1 \over 4}\times \frac{f(x)}{x^2}=\frac{f(x)}{4x^2}[/tex]
J'ai fait comme ça pour éviter de traîner le 4 (c'est d'ailleurs là que ça a dû clocher chez toi), j'ai rétabli la situation à la fin.

@+

Le-new-max · 12-04-2010 15:53:44

Re,

En effet, j'ai fais v= 4x donc v' =4 ... et après je me suis retrouvé avec le 4 le reste du développement. Merci.

b) Etudier les variations de la fonction Cm sur [1 ; 6].
==> Le dénominateur est positif. Le signe du numérateur je l'ai trouvé dans la question 2.c) de la première partie. Donc Cm est du signe de f ?

a+

Dernière modification par Le-new-max (12-04-2010 15:54:14)

yoshi · 12-04-2010 17:10:54

Bonsoir,

Si v=4x alors v'=4, c'est pourtant juste...

Pour le signe de Cm, oui c'est c'est bien le même que f(x).

En ce qui concerne ta dérivée, n'aurais-tu par hasard écrit 4x² au dénominateur ? Parce que c'est (4x)² = 16x², ce qui expliquerait ton résultat 4 fois trop grand...

@+

Le-new-max · 12-04-2010 18:24:29

Re,

Pour la dérivée, c'est en effet à cause de ça...Merci.

Pour les variations de Cm sur [1 ; 6], pour être sur :

Première ligne : 1 a 6
Deuxième ligne : - 0 +
Troisième ligne : décroissant mini croissant

Avec Cm(1) = 3.05 ?
Cm(6) = 2.6 ?
Cm(a) = 2.4 ?

a+

yoshi · 12-04-2010 18:41:04

Ave,

Oui, c'est bon.

@+

Le-new-max · 12-04-2010 19:25:12

Re,

c) Quel est le côut minimum de production de 1 mètre cube de solvant ? Pour quelle production ?
==> Le cout de production minimum pour 1 mètre cube de solvant est de 2 400 euros ? Par contre je ne vois pas le sens de la deuxième question. On nous demande le cout minimum pour produire 1 mètre cube et on nous demande ensuite pour quelle production...

A bientot

yoshi · 12-04-2010 19:57:11

Re,

Avec un énoncé aussi morcelé, il faut sacrément fouiller pour trouver !
Je pense avoir trouvé :

Pour une production journalière de x mètres cubes, le coût moyen de production en milliers d'euros de [tex]1m^3[/tex]...C_m(x)

Donc si j'ai bien compris, je peux résumer ce que j'ai lu ainsi :
1. x est la production journalière de solvant en [tex]m^3[/tex], compris entre 1 et 6 [tex]m^3[/tex]
2. C_m(x) est le coût moyen pour [tex]1\;m^3[/tex]
3. Le coût moyen est minimum pour le nombre [tex]\alpha[/tex] de [tex]m^3[/tex]

A toi de jouer...

@+

Le-new-max · 12-04-2010 20:02:35

Re,

Le cout moyen est donc minimum pour une production de a mètres cubes et est de 2 400 euros ?

a+

yoshi · 12-04-2010 20:11:28

Re,

Lorsqu'on a une production de x [tex]m^3[/tex] de solvant par jour, le coût moyen de production de [tex]1\;m^3[/tex] est [tex]C_m(x)[/tex]. Le coût moyen minimum dudit mètre-cube est atteint pour une production journalière de [tex]\alpha\;m^3[/tex].
C'est bien ce qu'il ressort de ton étude (message #37)...

Alors ?

@+

Le-new-max · 12-04-2010 20:21:28

Re,

Déjà je ne comprends pas l'énoncé de la question, alors...

Pourquoi le cout minimum n'est pas de 2,4 ? ?

yoshi · 12-04-2010 20:38:33

Re,

On reprend :
* [tex]\alpha[/tex] c'est une valeur particulière de x, lequel x représente la production journalière de solvant exprimée en [tex]m^3[/tex],
* Le coût moyen de production du [tex]m^3[/tex] quand on produit [tex]x \,m^3[/tex] par jour est Cm(x). Il est exprimé, lui, en milliers d'Euros...

Donc 2,4 milliers d'euros, c'est le coût moyen minimum de [tex]1 \,m^3[/tex], atteint pour une production journalière de [tex]x=\alpha \approx 3,7\,m^3[/tex].

Je ne crois pas avoir jamais écrit autre chose, sauf que là, cette fois, je te donne la réponse en clair...

Convaincu, ça y est ?
Sinon, relis ton énoncé pour savoir qui représente quoi. Comment crois-tu que j'aie fait ?
Ca devrait être plus simple pour toi qui a la chance d'avoir un énoncé d'un seul tenant.

@+

Le-new-max · 14-04-2010 09:58:39

Bonjour

C'est bon, j'ai compris l'énoncé et tout. Désolé pour avoir découpé l'énoncé ainsi.
Merci beaucoup de votre aide. A bientot.

yoshi · 14-04-2010 16:53:16

Salut,

Le plus important dans tout ça :

C'est bon, j'ai compris l'énoncé et tout.

Ça veut donc dire que si je te sucre tous les documents, que tu ne disposes que du strict nécessaire, tu sais refaire sans pb ? ;-))

@+

Le-new-max · 15-04-2010 16:26:58

Re,

Normalement oui, je pense qu'avec juste mon énoncé j'arriverai à refaire le dm sans trop de problèmes.
Merci a+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#26 12-04-2010 12:35:07

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