Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir !

Voilà un bon début. J'ai connu la formule de calcul d'aire d'un polygone par les déterminants en 1976-77, dans le manuel d'applications de la calculatrice programmable HP25, la 1ère je crois. Mais moi je cherche une formule vraie uniquement pour les points intérieurs à un polygone, or cette formule est vraie pour M à l'extérieur aussi ... Je n'ai pas cherché plus ... Je reste avec l'approche géométrique non orientée ...

Donc polygone convexe ; et si M sort du plan ? C'est le sommet d'une PYRAMIDE, et je vérifie seulement que la formule des aires proposée n'est vraie QUE dans le plan du polygone, et dedans.

J'aborderai les formules en 3ème étape, et j'utiliserai le produit vectoriel, pour calculer les MHi ...

MAIS la 2ème étape n'est pas finie ! Somme(MHi) = n fois apothème ?

Bonne soirée, Bernard-maths

PS : je galère encore pour mettre une image !!!

Bonjour à tous !

Compléments pour la fin de la 2ème étape :
vous allez regarder chez la réponse de Wiwaxia en fin de page 1. Vous y trouvez un hexagone très coloré A1A2A3A4 ...
Le point M intérieur se projette en H1, H2, H3 ... Donc aire(MA1A2) = A1A2 x MH1 /2, etc ...

La formule des aires s'écrit donc : aire(A1A2...An) = (A1A2 x MH1 + A2A3 x MH2 + A2A3 x MH3 + ... + AnA1 x MHn) /2 !

Alors si le polygone est régulier convexe, A1A2 = A2A3 = A3A4 = ... =AnA1, et si M = O centre du polygone, on a aussi OH1 = OH2 = ... = OHn ...

De plus les n triangles OA1A2, OA2A3, OA3A4, ... , OAnA1 sont égaux (isométriques), on peut donc facilement calculer aire(A1A2 ... An) ...

Allez, je vous laisse finir !

A bientôt, Bernard-maths

Bonjour à tous ! Je passe à la 2ème étape : Pour commencer la correction de la 1ère étape.

Comme je ne sais pas déposer encore de figure sur le site, vous allez me suivre attentivement !
Je vais faire la démonstration pour un quadrilatère convexe quelconque, vous verrez qu’il est facile de généraliser …

1°) Donc, dans un plan, tracez un quadrilatère convexe ABCD tel que les côtés soient [AB] « en haut », [BC] « à gauche », [CD] « en bas » et [DA] « à droite ». Placez un point M à l’intérieur strict dans le plan de ABCD … Joignez M aux 4 sommets. Vous venez de partager ABCD en 4 triangles contenus dans ABCD (et son plan) !
On peut alors écrire : aire(ABCD) = aire(MAB) + aire(MBC) + aire(MCD) + aire(MDA).

2°) Que se passe-t-il si M est sur (la ligne périmétrique de) ABCD ? Par exemple sur [AB] ?
Alors le triangle MAB est aplati et son aire = 0 … Il reste 3 triangles intérieurs, et la formule des aires reste vraie !
Et aussi si M est un des 4 sommets, il reste 2 triangles …

3°) Et si M sort de ABCD ? Par exemple, poussez M un peu « au dessus » de AB, vous voyez alors un pentagone AMBCD qui contient strictement ABCD … la formule des aires n’est plus vraie ! Mais on a : aire(ABCD) < aire(MAB) + aire(MBC) + aire(MCD) + aire(MDA).

4°) Et si M sort du plan de ABCD ? Alors les longueurs des 4 segments MA, MB, MC et MD augmentent, donc les aires des 4 triangles aussi, donc on a le même résultat qu’en 3°) !

5°) CONCLUSION : on voit donc que l’égalité : aire(ABCD) = aire(MAB) + aire(MBC) + aire(MCD) + aire(MDA), n’est vraie que si M est dans le plan de ABCD, et à l’intérieur au sens large.

Théorème : soit un polygone plan convexe A1A2 … An à n côtés, soit M un point de l’espace. On définit ainsi n triangles MA1A2, MA2A3, … , MAiAi+1, … , MAnA1.
Alors l’égalité : aire(A1 … An) = Somme des aires(MAiAi+1) est une équation de la zone plane intérieure, au sens large, au polygone.

Et pour finir :
6°) Il vous reste à démontrer le théorème que j’ai proposé le 11 à 19h, en considérant que le polygone est régulier, cela veut dire qu’il a n côtés égaux, et n angles aux sommets égaux. L’apothème est alors la valeur de la hauteur des n triangles (égaux) de sommet M = O, O centre du cercle circonscrit … et on peut simplifier par quelque chose …

Bonne soirée, Bernard-maths

Bonsoir Wiwaxia,

pour rigoler un peu, mon amie adore = la pote aime ?????????????

cordialement, Bernard-maths

Bonjour à tous !

En suivant le lien donné par Wiwaxia sur https://mathcurve.com/polyedres/cubocta … aedre.shtm, on trouve ceci :

Coordonnées des sommets    (+ ou -b, + ou -b, 0)  permutés circulairement, avec b = a / rac(2).
Curiosité : la surface du cuboctaèdre est la surface d'équation implicite : abs(x+y+z) + abs(-x+y+z) + abs(x-y+z) + abs(x+y-z) = 4b.

Puisqu'on "reste" dans du cube, je veux bien en parler !

Quelqu'un sait il démontrer cette équation ? Ce n'est pas évident ...

Mais avec quelques techniques que j'ai mises au point, je pense que c'est possible, MAIS je ne l'ai pas encore réalisée !!!

C'est ce genre de choses qui m'attire en ce moment ... je vais continuer pour finaliser.

J'attends vos commentaires, et je vous donnerai mon cheminement ...

Cordialement, Bernard-maths

Bien vu encore Wiwaxia !

Mais c'est dommage que tu sois le seul à me contacter ...

Il faut encourager "les autres" ...
Il ne faut pas hésiter à me répondre, ou poser des questions !

Bonne soirée, Bernard-maths

Bien vu Wiwaxia !

J'ai pas mal de figures intéressantes, mais il faut que je les présente sur le site GeoGebra ...

Je suis en train de pondre un document sur les équations implicites de polyèdres ... avec des résultats basiques !

On pourra ensuite en discuter, et justifier, et prendre des exemples ...

Mais je suis en train de "finir" mes recherches, et j'ai la flemme (il faut du temps) de donner des exemples, sauf simples !

A bientôt donc, je cogite ...

Bernard-maths

Je ne sais pas faire la figure !

Bonsoir à tous, quelques précisions sur des logiciels que j'utilise, et ma philosophie !

Wiwaxia nous a envoyé de très belles images, produites avec le logiciel Surfer. Surfer est très sympa à utiliser et assez simple.
Ce que je lui "reproche", c'est de ne pas prendre en compte des fonctions "usuelles", et en particulier la valeur absolue, et la logique !

Or moi, j'en ai besoin, et à la puissance 1 ! J'ai quand même essayé, et ça plante à la saisie, bien sur.

Par contre si on prend, comme Wiwaxia, des exposants 2n donc pairs, on "perd" une partie (la moitié ?) des images possibles ... ce n’est pas un reproche ! On utilise ce qui est disponible !

J'utilise depuis "très longtemps" GéoGebra, qui a plus de possibilités en saisie, mais qui manque de possibilités en tracés 3D ...
Par exemple il ne sait pas tracer le cube que j'ai donné en 1er, si on en introduit l'équation avec valeurs absolues !
Pourtant, une fois j'ai eu un tracé réussi, mais qui a disparu (!!!) et ne s'est jamais refait ...
Surfer ne peut pas non plus, à cause des valeurs absolues ...

Alors, personnellement, j'établie des formules, que je décompose par analyse des signes à l'intérieur de chaque valeur absolue, et je construis géométriquement les figures correspondantes. C'est beaucoup de travail, mais c'est très "chouette" !

Je reste "formateur", c'est à dire que je veux bien vous présenter mes "découvertes", mais je voudrais surtout vous en expliquer la création des formules, et qu'à partir de là, vous puissiez créer des nouveautés !

Je suis aussi un peu artiste, et je suis prêt à détourner une figure pour en faire autre chose, et comme j'aime bien le dire, "pour rendre les maths attrayantes, il faut mettre un peu d'art aux maths" ...

Pour finir, moi j'aime bien l'équation : abs(x) + abs(y) + abs(z) = a > 0, c'est plus pointu que les formes octaédriques présentées ci-dessus par Wiwaxia, et ça prouve que l'exposant 1 sur une valeur absolue est utile ... !

Bonsoir à tous, et portez vous bien,

Bernard-maths

Bonjour, et merci Wiwaxia.

Le week-end va être un peu agité ... donc je reviendrai lundi.

Bonne année à tous ...

Bernard-maths

Bonjour Yann ! J'ai plusieurs idées pour ces calculs :
1) J'ai tapé sur Google "densité viande rouge", et j'ai eu :

Bon, dans la viande crue maigre, il y a 800 kg/m3 d'eau et 280 kg/m3 de protéines… Ce qui fait que la masse volumique de la viande maigre est de 1,08 kg/l et sa densité est de 1,08 ! Du coup pour la viande crue maigre séchée (complètement déshydratée), la masse volumique est de 1,35 kg/l !11 août 2015

Quelle est la densité de la viande ? | La recette du dredi !

blog.deluxe.fr › sauces-et-preparations › quelle-est-la-den...

Donc en pesant les morceaux tu peux avoir une idée du volume en calculant V = masse / 1.08. Vérifier/ajuster avec quelques-uns des 24 morceaux connus !

2) Ajuster le coeff 1.08 avec un vrai morceau de foie : le peser poids P (en g), et avec un récipient gradué en ml (cm^3), le tremper dans un liquide (eau) et voir de combien le volume total varie, d'où son volume V. Le coeff est alors coeff = P/V.

3) Faire des statistiques ! Avec les 24 morceaux connus, pour chacun calculer le volume de la "boite" de dimensions a, b et c :Vboite =a fois b fois c ; puis diviser le volume réel par Vboite, on a un coeff ... faire la moyenne des 24 coeff, on aura un coeff moyen pour passer du volume des boites des 22 morceaux, à leur "vrai" volume estimé !

Mais la forme des morceaux peut jouer sur la "précision" ; on peut alorsd chercher des coeff en fonction des types de formes repérées ...

Bon, eh bien bons calculs !

Cordialement, Bernard-maths