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Bonjour,
pour la suite de fonctions $(\theta_n)$ donnée par $\theta_n(x)= \dfrac{1}{n} \varphi(\dfrac{x}{n})$
on commence par étudier la converge simple de $(\theta_n)$. Soit $x$ fixé dans $\mathbb{R}$. On a  $\lim_{n \to +\infty} \theta_n(x)= \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} \varphi(\dfrac{x}{n})$. On a  $0 \leq |\dfrac{1}{n} \varphi(\dfrac{x}{n})| \leq \dfrac{M}{n}$ où $M = \sup_{x \in \mathbb{R}} |\varphi(x)|$. Donc $\lim_{n \to +\infty} \theta_n(x)= 0$. On conclut que la suite de fonctions $(\theta_n)$ converge simplement dans $\mathbb{R}$ vers $\theta=0$.

On a $Supp \theta_n \subset [-an,an]$. La question est de savoir si on peut trouver un compact $K$ fixe (indépendant de $n$) qui contient $Supp \theta_n$ quelque soit $n \in \mathbb{N}$.
Puisque $\varphi \neq 0$, alors $\exists y \in \mathbb{R}: \varphi(y) \neq 0$, et par la continuité de $\varphi$, il existe un voisinage $V$ de $y$ tel que $\forall x \in V: \varphi(x) \neq 0$. On a $\theta_n(n y)= \dfrac{1}{n} \varphi(y) \neq 0$, ce qui veut dire que $n x \in Supp(\theta_n)$ avec $n y \to +\infty$, donc $Supp (\theta_n)$ ne peut pas être contenu dans un compact fixe (indépendant de $n$).

1. Est-ce que la rédaction est excellente? S'il vous plaît.

2. Si oui, j'ai une question: pourquoi il est important de travailler sur le voisinage du point $y$ où $\varphi$ ne s'annule pas?

3. Mon prof a donné la preuve suivante:
Si $\varphi \neq 0$, il existe $x \in \mathbb{R}^\star$ tel que $\varphi(x_0) \neq 0$. On remarque que $\theta_n(n x_0)= \dfrac{1}{n} \varphi(x_0) \neq 0$.
Alors $n x_0 \in Supp \theta_n$ quelque soit $n$ et l'ensemble des points $n x_0$ n'est pas borné, donc $Supp \theta_n$ n'est pas borné et ainsi il n'est pas compact.
Qu'est ce que vous en pensé? S'il vous plaît. Pourquoi il a pris $x_0 \neq 0$?

Ok c'est bien compris. Merci beaucoup!
J'ai deux questions s'il vous plaît
1. Pourquoi est-ce que l'encadrement $- \varphi(\dfrac{x}{n}) \leq \sin(nx) \varphi(\dfrac{x}{n}) \leq \varphi(\dfrac{x}{n})$ ne montre pas que si $\varphi(0) \neq 0$ alors $\theta_n(x)$ n'a pas de limite? Dans ce cas on aura le terme de gauche et celui de droite non identiques. Non? Et je ne comprend pas pourquoi il faut dire que $\sin (nx)$ converge vers $l/\varphi(0)$. Qui est l? et pourquoi ça montre que $\theta_n(x)$ n'a pas de limite?

2. On a trouvé que $Supp (\theta_n)$ contient un ensemble non borné de points de la forme $(n y)$. Alors ça n'est pas une contradition avec le fait que $Supp (\theta_n)$ soit borné? S'il vous plaît.

Si $A$ est dense dans $B$ alors l'adhérence de $A$ dans $B$ c'est $A$. C'est bien ça. Merci beaucoup

Génial! Donc $(Supp (1_Q))= \empstyset$ et par conséquent $Supp(1_Q)= \mathbb{R}$.
J'ai une questions s'il vous plaît:
Avez vous un truc mémo technique pour retenir que $\overline{Q}$ est compact? et est-ce que $Q^c$ est ouvert ou bien fermé dans la topologie usuelle?

Merci beaucoup, c'est enfin réglé et j'ai bien compris comment on résout l'exercice. Mais il était très compliqué pour moi au début car sans aucune indication.
Pouvez vous s'il vous plaît me proposer un exercice du même genre, avec une indication qui donne une piste mais pas qui rende l'exercice trop simple.
Merci beaucoup par avance pour votre aide.

Bonjour,
voilà, j'ai rédigé une solution complète.
on pose $v(x)= \displaystyle\int_{-\infty}^x \varphi(t) dt= \displaystyle\int_{-1}^x \varphi(t) dt$.
On a: $\forall x \leq -1: v(x)=0$ et on pose $\forall x \geq 1: v(x)= \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(t) dt=1$.
On pose $\psi(x)= v(ax+b)v(cx+d)$ avec $a,b,c$ et $d$ des constantes réelles tels que $\forall x \in ]-\infty,-1]: v(ax+b)=0$,
$\forall x \in [-1/2,+\infty[: v(ax+b)=1$, et $\forall x \in ]-\infty,1/2]: v(cx+d)=1$ et $\forall x \in [1,+\infty[: v(cx+d)=0$.
on trouve que $a=4$, $b=3$, $c=-4$ et $d=3$.
Donc, $$\psi(x)= v(4x+3)v(-4x+3)$$
On remarque que $\psi \in C^\infty(\mathbb{R})$, mais je ne sais pas comment calculer le support, et aussi que dire à propos de la fonction sur les intervalles $[-1,-1/2]$ et $[1/2,1]$ s'il vous plaît.

Super!C'est compris.
J'ai une question s'il vous plaît. Pourquoi avoir choisit exactement d'appliquer $v$ à $ax+b$ pour obtenir ce qu'on cherche?
Et aussi, qu'en est-il des intervalles $[-1/2,1]$ et $[1/2,1]$?

Ok, j'ai compris l'idée, merci beaucoup beaucoup.
Il me reste les calculs. On pose $w(x)=v(ax+b)$, et vous avez dit que $w$ nulle jusqu'à -1 et constante à partir de $-1/2$ veut dire que $v(a(-1)+b)=1$ et $v(a(-1/2)+b)=1$. Je ne comprend pas  pourquoi?
Moi je dit que $w$ est nulle en $-1$ veut dire que $v(a(-1)+b)=0$  et $w$ vaut 1 en $-1/2$ veut dire que $v(a(-1/2)+b)=1$. Non?