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Bonjour, pour ne pas laisser de message sans réponse!

C'est un problème très intéressant malgré quelques erreurs de formalisme! J'ai essayé quelque chose..

D'abord on obtient facilement que  [tex]{u}_{k}=1+\sum^{k}_{i=2}i{a}_{i}[/tex]

Ensuite on décompose la condition [tex]0\leq {u}_{k}\leq 3n[/tex]

avec C1: [tex]-1\leq \sum^{k}_{i=2}i{a}_{i}[/tex]
                                                               [tex]\forall k\in ]1;n-1]\,\,et\,\,\forall n\in \mathbb{N}[/tex]
                                                                           
et C2: [tex]3n-1\geq \sum^{k}_{i=2}i{a}_{i}[/tex]

Maintenant c'est le travail de fond; [tex]-1\leq 2{a}_{2}[/tex] [tex]\Rightarrow {a}_{2}=\,0\,ou\,1[/tex]
puis [tex]-1\leq 2{a}_{2}+3{a}_{3}\,\Rightarrow \,{a}_{3}=\,0\,ou\,1\,si\,{a}_{2}=0\,ou\,{a}_{3}=-1,0\,ou\,1\,si\,{a}_{2}=1[/tex] etc..

Procédure que je dresse en un arbre   

Et finalement on arrive à la suite ak vérifiant C1 et: [tex]{a}_{k+1}=\left\{{a}_{k+1}\geq \frac{-\left[1+\sum^{k}_{i=2}i{a}_{i}\right]}{k+1}\right.\,\,\forall k\in ]1;n-1]\,\,\,\,\,\,et\,\,\,\,\,\,{a}_{k+1}\in {-1;0,1}[/tex]

Maintenant, en ce qui concerne C2 on dégage un cas trivial: [tex]{u}_{k}-1\,[/tex] est maximal lorsque [tex]{a}_{2}={a}_{3}=...={a}_{k}=1[/tex]   (ligne de droite de l'arbre)

Et dans ce cas [tex]\sum^{k}_{i=2}i{a}_{i}\leq 3n-1\,\Rightarrow \,\frac{k\left(k+1\right)}{2}-1\leq 3n-1\,[/tex]  et comme [tex]k\leq n-1[/tex]  alors  cela implique encore que [tex]\frac{n\left(n-1\right)}{2}-1\leq 3n-1\,\,\forall n\in \mathbb{N}[/tex]

Soit    [tex]n\leq 7[/tex]

Des lors, on remplace dans la réponse de dessus n-1 par 6 pour que la suite soit juste.

Cependant d'une façon générale C2 se vérifie de la même façon que C1, càd que

[tex]{a}_{k+1}=\left\{{a}_{k+1}\leq \frac{3n-\left[1+\sum^{k}_{i=2}i{a}_{i}\right]}{k+1}\right.\,\,\,\,\,[/tex]     selon les même ensembles qu'avant

FINALEMENT on obtient la suite recherchée;

[tex]{a}_{k+1}=\left\{\frac{-\left[1+\sum^{k}_{i=2}i{a}_{i}\right]}{k+1}\leq {a}_{k+1}\leq \frac{3n-\left[1+\sum^{k}_{i=2}i{a}_{i}\right]}{k+1}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,et\,{\,a}_{k+1}\in \left(-1;0;1\right)\,\,\,\,\,\,\forall k\in ]1;n-1][/tex][tex]{a}_{2}=1\,ou\,0[/tex]

Soit plus clairement,  [tex]\frac{-{u}_{k}}{k+1}\leq {a}_{k+1}\leq \frac{3n-{u}_{k}}{k+1}[/tex]

EN outre pour ce qui est de la dernière condition: [tex]{u}_{n-1}=n[/tex] on ne peut rien faire! U est indépendant de n!!
Cependant on peu dégager un cas trivial assez joli:

En effet, si [tex]{a}_{2}={a}_{3}=...={a}_{n-2}=0[/tex]    et    [tex]{a}_{n-1}=1[/tex]  alors  la suite vérifie toutes les conditions ! (mais ce n'est pas la seule, juste un cas facile à trouver!)

DÉMONSTRATION:

il est évident que si [tex]\forall i\,tq\,2\leq i\leq n-2\,,\,\,{a}_{i}=0\,\,et\,\,{a}_{n-1}=1\,[/tex]  alors  [tex]0\leq {u}_{k}=1+\sum^{k}_{i=2}i{a}_{i}\leq 3n[/tex]   [tex]\forall k\in ]1;n-1][/tex]   (vérification de la première condition).

Ensuite, suivant les même conditions, il est évident que   [tex]\sum^{n-2}_{i=2}i{a}_{i}=0=\left(n-1\right)\left(1-{a}_{n-1}\right)[/tex]

Soit que [tex]\sum^{n-2}_{i=2}i{a}_{i}=n-1-\left(n-1\right){a}_{n-1}[/tex]

Donc, [tex]\sum^{n-2}_{i=2}i{a}_{i}+\left(n-1\right){a}_{n-1}=n-1[/tex]

Soit [tex]\sum^{n-1}_{i=2}i{a}_{i}=n-1[/tex]

Donc [tex]1+\sum^{n-1}_{i=2}i{a}_{i}=n[/tex]

qui équivaut finalement à  [tex]{u}_{n-1}=n[/tex]

PS :  yoshi, j'ai trouvé une solution , mais je ne pouvais pas écrire tout ça à la main!