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Moi j'ai trouvé que $<T,\varphi_n> > C ||\varphi_n||$ après qu'est ce qu'on dit? Est-ce qu'on dit que $\lim_{n \to +\infty} <T,\varphi_n> > C \lim_{n \to +\infty}||\varphi_n||$ ? ou bien on dit qu'à partir d'un certain rang $n_0 \in \mathbb{N}$ on a $<T,\varphi_n> > ||\varphi_n[|$?

$a_n$ et $b_n$ sont censés être les bornes du compact $K$ surlequel la suite $(\psi_n)$ est égale à 1. Sinon alors pouvez vous me proposez un exemple de suite pour montrer que l'ordre n'est pas 1?

Bonjour,
je panique un peu car j'ai un gros doute.
Dans le calcul
$$
\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| \geq \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]+ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]
$$
on a la règle suivante
$$
\displaystyle\int_{-a}^{-b} = - \displaystyle\int_b^a
$$
et c'est cette règle qu'on applique pour avoir $ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]=0$.
Mon problème est que si on applique cette règle pour calculer $\lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]$, on a
$$
\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx =
\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx - \displaystyle\int_{\epsilon}^{a} \psi(x) dx=0.
$$
Or que ce n'est pas ce qu'il faut trouver. Où est l'erreur? S'il vous plaît.

Oui, j'ai oulblié le $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, je viens de réctifier.
S'il vous plaît, si on veut montrer que $\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |\psi_n(x)|=0$. On doit montrer que pour tout $\epsilon >0$, il existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geq n_0$ on a $|\sup_{x \in K} |\psi_n(x)|| \leq \epsilon$.
Si on suppose que $\varphi(0)=0$ en sachant que $\varphi$ est continue, comment ça peut nous aider à montrer que la limite est zéro? S'il vous plaît.

Bonjour,
je reviens sur cet exercice. Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ donc $Supp(\varphi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$. On considère la suite de fonctions $(\psi_n)$ donnée par $\psi_n(x)= \dfrac{1}{1+(nx)^2} \varphi(x)$.
Je commence par étudier la convergence uniforme de $(\psi_n)$ vers $\psi=0$.
On a
$$
\sup_{x \in K} |\psi_n(x)| \leq \sup_{x \in K} |\dfrac{1}{1+(nx)^2}|. \sup_{x \in K} |\varphi(x)|.
$$
On pose $\sup_{x \in K}|\varphi(x)|=M$ et on a $\sup_{x \in K} |\dfrac{1}{1+(nx)^2}|=1$. Donc on en déduit que $\sup_{x \in K} |\psi_n(x)| \leq M$ où $M=\sup_{x \in K} |\varphi(x)|$.
On a obtenu une majoration constante de $\sup_{x \in K} |\psi_n(x)|$ mais cela n'implique pas que la suite $(\psi_n)$ converge uniformément. Non?
et puis c'est quoi la relation avec l'hypothèse $\varphi(0)=0$? S'il vous plaît. Je ne comprend pas.

Je suis vraiment idiotte, j'ai oublié d'appliquer la relation $\displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx = -\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx$, donc le tout donne 0.

Oui pardon, j'ai fait une erreur de frappe. Je reprend.
On fait le changement de variable $u=tx$ avec $t \in [0,1]$, et on a ainsi: $\displaystyle\int_0^x \varphi'(u) du = x \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$. Donc on a
$$
\dfrac{\varphi(x)}{x}= \dfrac{\varphi(0)}{x}+ \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt
$$
on note $\psi(x)= \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$ et on a
$$
\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
=
\lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]+ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]
$$
J'ai deux questions s'il vous plaît.
1. Comment justifier le fait que $\lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]=0$?
2. On a $ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]= \displaystyle\int_{-a}^0 \psi(x) dx + \displaystyle\int_0^a \psi(x) dx= \displaystyle\int_{-a}^a \psi(x) dx$.
C'est bon?

Donc si on pose $\varphi_j(x)= \dfrac{\psi_j}{\sum_{j=1}^n \psi_j}$, le dénominateur doit être défini sur $\Omega$? C'est ça? Si oui, pourquoi il doit être défii sur tout $\Omega$?

parce que $\psi_j=1$ au voisinage de $K_j$ pour tout j, donc la somme devrait être strictement positive. Pourquoi ça peut être nul?