Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour
j'ai l'exercice suivant:
Soient $y_1$ et $y_2$ deux solutions linéairement indépendantes de l'équation
$$
(P(x) y')' +q(x) y=0
$$
sur l'intervalle $[a,b]$ avec $P(x) > 0$.
1. Montrer que $y_1$ et $y_2$ ne s'annulent pas en même temps.
2. Montrer que si $y_1$ et $y_2$ sont des solutions non triviales et linéairement dépendantes, alors elles s'annulent en même temps.

Voici ma solution:
1. Par l'absurde, on suppose que $y_1$ et $y_2$ s'annulent en même temps. Ce qui veut dire qu'il existe $x_0 \in [a,b]$ tel que $y_1(x_0)= y_2(x_0)=0$. Donc on a $W[y_1,y_2](x_0)= y_1(x_0) y_2'(x_0)-y_2(x_0) y_1'(x_0)=0$ ce qui contredit le fait que $y_1$ et $y_2$ soient linéairement indépendant.

2.  On suppose que $y_1,y_2 \neq 0$. $y_1$ et $y_2$ sont linéairement dépendant veut dire qu'il existe $x_0 \in [a,b]$ telle que $W[y_1,y_2](x_0)= 0$. C'est à dire que $y_1(x_0) y_2'(x_0) - y_2(x_0) y_1'(x_0)=0$. Donc $y_1(x_0) y_2'(x_0)= y_2(x_0) y_1(x_0)=0$.

J'ai un petit doute: si $y_1$ et $y_2$ sont linéairement dépendent alors le Wroksien est nul quelque soit $x$, ou bien il existe un $x_0$ pour lequel le Wronksien est nul?

Cordialement

Bonjour
j'ai la question suivante: Soit $\psi$ une fonction continue définie sur un intervalle $[a,b] \subset \R$ à valeurs dans $\mathbb{R}^+$. On suppose qu'il existe $x_0 \in [a,b]$ et trois constantes positives $C \geq 0, A \geq 0$ et $B \geq 0$ telles que:
$$\psi(x)\leq A +B \Big|\int_{x_0}^x \psi(s) ds\Big| +C |x-x_0|, \quad \forall x \in [a,b].$$

Comment montrer que pour tout $x \in [a,b]$ on a :
$$\psi(x) \leq AB e^{|x-x_0|} +\dfrac{C}{B} (e^{|x-x_0|} -1).$$

Merci d'avance pour l'aide.

Bonjour
on note par $\delta$ la distribution de Dirac.
Je sais que $\delta \notin L^1_{loc}(\mathbb{R}^d)$ et en même temps je lis des cours où il est écrit que $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \delta(y) dy =1$!
1. Est ce qu'on peut vraiment écrire $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \delta(y) dy =1$?
2. Est-ce que l'écriture $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \delta(y) f(x,y) dy$ a un sens?
3. Dans le cas de Dirac au point zéro, que vaut $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \delta_0 f(x,y) dy$?

Cordialement

Bonjour
je suis un peu perdue dans mes calculs, j'espère que quelqu'un pourra m'aider.
On pose
$$
u^{J}(x,t)= \left(\sum_{j=1}^J (\epsilon^2 \omega)^j f_j\left(\dfrac{x}{\epsilon}\right)\right)v(x,t)
$$
définie sur $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_+$.
Je souhaite écrire correctement l'expression de $c \cdot \nabla u^{J}$, où $c$ est un vecteur constant de $\mathbb{R}^n$.
J'ai dérivé comme une composé mais je ne sais pas très bien où placer le $c$.
Merci d'avance.

Bonjour
On a vu le résultat suivant: soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ et soit $\theta \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\theta(0)=1$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, il existe $\psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que:
$$
\varphi(x)= \varphi(0) \theta(x) + x \psi(x),
$$
où $\psi(x)= \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$.
Puis, pour montrer que $vp 1/x$ définie par: pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): \langle vp 1/x,\varphi\rangle = \lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x|>\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx$, est une distribution. On montre qu'elle est bien définie en utilisant l'écriture
$$
\varphi(x)=  \varphi(0)+ x \psi(x)
$$
où $\psi(x)= \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$.

Ma question est qu'on a l'impression que l'écriture $\varphi(x)=  \varphi(0)+ x \psi(x)$ est un cas particulier de la première écriture $\varphi(x)= \varphi(0) \theta(x) + x \psi(x)$ pour $\theta=1$ mais cela est impossible car $1$ n'est pas une fonction teste! Donc c'est quoi le lien entre les deux écritures de $\varphi$?

Cordialement

Bonjour
j'ai l'exo suivant: soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ une fonction de classe $C^{\infty}(\mathbb{R})$.
La question est: montrer que si $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ alors $f \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$. Qu'en déduisez vous?

Voici ma solution: tout d'abord, $f \varphi \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ car il s'agit du produit de deux fonctions de classe $C^\infty$. Ensuite, on a $Supp(f \varphi) \subset Supp(f) \cap Supp(\varphi) \subset Supp(\varphi)$ et ce dernier est compact, donc $Supp(f \varphi)$ est à support compact et on conclut que $f \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$.
1. Que pensez-vous de cette solution?
2. Qu'est ce qu'on peut répondre à la question: qu'en déduisez-vous?

Cordialement